1. Dada a função custo C(x)=5 x^{3}-4 x^{2}-6 x-9 e a função receita R(x)=5 x^{3}+7 x^{2}-5 x. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=98
Resposta:
\begin{gathered} L(x)=11 x^{2}+x+9 \\\ L^{\prime}(x)=22 x+1 \\\ L^{\prime}(98)=2157 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá as funções:
C(x)=5x^{3}-4x^{2}-6x-9
R(x)=5x^{3}+7x^{2}-5x
O que é pedido:
  • Encontrar a função lucro L(x).
  • Encontrar o lucro marginal, isto é L'(x).
  • Calcular o lucro marginal para x=98, isto é L'(98).

Passo 2

Definição e formação do lucro: o lucro é a diferença entre a receita e o custo. Portanto,
L(x)=R(x)-C(x).
Agora substituímos as expressões dadas e fazemos a subtração termo a termo:
L(x)=\bigl(5x^{3}+7x^{2}-5x\bigr)-\bigl(5x^{3}-4x^{2}-6x-9\bigr).
Cancelar os termos iguais e agrupar semelhantes:
L(x)=5x^{3}+7x^{2}-5x-5x^{3}+4x^{2}+6x+9.
L(x)=(5x^{3}-5x^{3})+(7x^{2}+4x^{2})+(-5x+6x)+9.
L(x)=0+11x^{2}+x+9.
Logo,
L(x)=11x^{2}+x+9.

Passo 3

O que é lucro marginal e como derivar: o lucro marginal é a derivada do lucro em relação à quantidade x. Para derivar polinômios usamos a regra do expoente (power rule): para qualquer constante a e inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a n x^{n-1}.
Aplicando termo a termo em L(x)=11x^{2}+x+9:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(11x^{2}\bigr)=11\cdot 2 x^{1}=22x.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1 porque x=x^{1} e 1\cdot x^{0}=1.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(9\bigr)=0 porque constante tem derivada zero.
Portanto,
L'(x)=22x+1.

Passo 4

Avaliar o lucro marginal em x=98. Substituímos na expressão de L'(x):
L'(98)=22\cdot 98 + 1.
Fazendo a conta sem calculadora: 22\cdot 98=22\cdot(100-2)=2200-44=2156. Somando 1:
L'(98)=2156+1=2157.

Passo 5

Resumo rápido: encontramos a função lucro L(x), derivamos para obter o lucro marginal L'(x) usando a regra do expoente, e avaliamos em x=98. Boa — você já tem o procedimento que vale para qualquer polinômio parecido. Força que dá tempo de treinar mais alguns exemplos semelhantes!

Resposta

L(x)=11x^{2}+x+9
L'(x)=22x+1
L'(98)=2157

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