- Dada a função custo
e a função receita
. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá duas funções em termos da quantidade produzida/vendida
:
- Custo:
. - Receita:
.
O que é pedido:
- Encontrar a função lucro marginal (ou seja, a derivada do lucro em função de
). - Calcular o valor dessa função no ponto
.
Passo 2
Primeiro vamos obter a função lucro
. Por definição, lucro é receita menos custo. Em símbolos:
Aqui
representa a quantidade de unidades produzidas/vendidas;
é o dinheiro que entra e
o dinheiro que sai. O lucro é a diferença entre os dois.
Passo 3
Substituindo as expressões dadas em
:
Agora vamos agrupar termo a termo: primeiro os termos em
, depois em
, depois constantes.
Passo 4
Calcule os coeficientes termoa termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Portanto a função lucro é
Passo 5
Agora precisamos da função lucro marginal, que é a derivada de
em relação a
. Explicando o conceito rapidinho e de forma prática: a derivada
mede a taxa de variação do lucro quando aumenta a produção de uma unidade a mais — ou seja, quanto muda o lucro por unidade adicional produzida. Na prova, geralmente chamam isso de “lucro marginal”.
Passo 6
Regras de diferenciação que vamos usar (explicação breve e aplicada):
- Regra do expoente (power rule): a derivada de
é . Ex.: . - Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem da derivada.
- Derivada de
(com constante) é . - Derivada de constante é
.
Aplicando isso a cada termo de
:
Passo 7
Derivando termo a termo:
Somando:
É comum reorganizar os termos como
que é a mesma coisa.
Passo 8
Agora vamos calcular o lucro marginal em
. Substituímos
em
:
Para fazer
sem calculadora, use multiplicação mental:
.
Passo 9
Portanto
Interpretação rápida e simpática: o lucro marginal em
é
, ou seja, produzir a unidade de número 80 (passar de 79 para 80) reduziria o lucro em
unidades monetárias — sinal de que, naquele ponto, aumentar a produção é prejudicial ao lucro.