1. Dada a função custo C(x)=7 x^{2}-7 x-3 e a função receita R(x)=x^{2}+5 x-8. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=79
Resposta:
\begin{gathered} L(x)=-6 x^{2}+12 x-5 \\\ L^{\prime}(x)=12-12 x \\\ L^{\prime}(79)=-936 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá duas funções em termos da quantidade produzida/vendida x:
  • Custo: C(x)=7 x^{2}-7 x-3.
  • Receita: R(x)=x^{2}+5 x-8.
O que é pedido:
  • Encontrar a função lucro marginal (ou seja, a derivada do lucro em função de x).
  • Calcular o valor dessa função no ponto x=79.

Passo 2

Primeiro vamos obter a função lucro L(x). Por definição, lucro é receita menos custo. Em símbolos:
L(x)=R(x)-C(x).
Aqui x representa a quantidade de unidades produzidas/vendidas; R(x) é o dinheiro que entra e C(x) o dinheiro que sai. O lucro é a diferença entre os dois.

Passo 3

Substituindo as expressões dadas em L(x)=R(x)-C(x):
L(x)=\bigl(x^{2}+5x-8\bigr)-\bigl(7x^{2}-7x-3\bigr).
Agora vamos agrupar termo a termo: primeiro os termos em x^{2}, depois em x, depois constantes.

Passo 4

Calcule os coeficientes termoa termo:
  • Coeficiente de x^{2}: 1-7=-6.
  • Coeficiente de x: 5-(-7)=5+7=12.
  • Constante: -8-(-3)=-8+3=-5.
Portanto a função lucro é
L(x)=-6x^{2}+12x-5.

Passo 5

Agora precisamos da função lucro marginal, que é a derivada de L(x) em relação a x. Explicando o conceito rapidinho e de forma prática: a derivada L'(x) mede a taxa de variação do lucro quando aumenta a produção de uma unidade a mais — ou seja, quanto muda o lucro por unidade adicional produzida. Na prova, geralmente chamam isso de “lucro marginal”.

Passo 6

Regras de diferenciação que vamos usar (explicação breve e aplicada):
  • Regra do expoente (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem da derivada.
  • Derivada de a x (com a constante) é a.
  • Derivada de constante é 0.
Aplicando isso a cada termo de L(x)=-6x^{2}+12x-5:

Passo 7

Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr)=-6\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=-6\cdot(2x)=-12x.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(12x\bigr)=12.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-5\bigr)=0.
Somando:
L'(x)=-12x+12.
É comum reorganizar os termos como
L'(x)=12-12x,
que é a mesma coisa.

Passo 8

Agora vamos calcular o lucro marginal em x=79. Substituímos x=79 em L'(x)=12-12x:
L'(79)=12-12\cdot79.
Para fazer 12\cdot79 sem calculadora, use multiplicação mental: 12\cdot79=12\cdot(80-1)=12\cdot80-12\cdot1=960-12=948.

Passo 9

Portanto
L'(79)=12-948=-936.
Interpretação rápida e simpática: o lucro marginal em x=79 é -936, ou seja, produzir a unidade de número 80 (passar de 79 para 80) reduziria o lucro em 936 unidades monetárias — sinal de que, naquele ponto, aumentar a produção é prejudicial ao lucro.

Resposta

L'(x)=12-12x
L'(79)=-936

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