1. Dada a função custo C(x)=2 x^{3}+4 x^{2}+9 x-8 e a função receita R(x)=-2 x^{3}+5 x-4.
Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=29
Resposta:
\begin{gathered} L(x)=-4 x^{3}-4 x^{2}-4 x+4 \\\ L^{\prime}(x)=-12 x^{2}-8 x-4 \\\ L^{\prime}(29)=-10328 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado fornece duas funções e pede duas coisas. Informações dadas:
  • A função custo é C(x)=2 x^{3}+4 x^{2}+9 x-8.
  • A função receita é R(x)=-2 x^{3}+5 x-4.
O que o enunciado pede:
  1. Encontrar a função lucro marginal (ou seja, a derivada do lucro).
  2. Calcular o valor do lucro marginal para x=29.

Passo 2

Definir o lucro e montar a função lucro L(x).
  • Conceito rápido e intuitivo: lucro é receita menos custo; portanto a função lucro é
L(x)=R(x)-C(x).
  • Substituindo as funções fornecidas:
L(x)=\bigl(-2 x^{3}+5 x-4\bigr)-\bigl(2 x^{3}+4 x^{2}+9 x-8\bigr).
Agora juntar termos semelhantes passo a passo:
  • Termo em x^{3}: -2 x^{3}-2 x^{3}=-4 x^{3}.
  • Termo em x^{2}: 0-4 x^{2}=-4 x^{2}.
  • Termo em x: 5 x-9 x=-4 x.
  • Termo constante: -4-(-8)=-4+8=4.
Logo, a função lucro é
L(x)=-4 x^{3}-4 x^{2}-4 x+4.

Passo 3

Encontrar a função lucro marginal L'(x) (ou seja, a derivada de L(x)).
  • Lembrete (regra usada): a regra potência (power rule). Para uma monômio a x^{n},
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a n x^{n-1}.
  • Aplicando termo a termo em L(x):
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(-4 x^{3}\bigr)=-4\cdot 3 x^{2}=-12 x^{2}.
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(-4 x^{2}\bigr)=-4\cdot 2 x=-8 x.
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(-4 x\bigr)=-4.
    • \dfrac{d}{dx}(4)=0.
Portanto,
L^{\prime}(x)=-12 x^{2}-8 x-4.

Passo 4

Calcular L^{\prime}(29) substituindo x=29 e fazendo as contas sem pular etapas.
  • Primeiro calcular 29^{2}:
29^{2}=841.
  • Substituir em L^{\prime}(x):
L^{\prime}(29)=-12\cdot(29)^{2}-8\cdot 29-4.
  • Calcular cada termo:
-12\cdot 841 = -10092, \qquad -8\cdot 29 = -232.
  • Somar tudo:
L^{\prime}(29)=-10092-232-4=-10328.

Passo 5

Interpretação curta e motivadora: L^{\prime}(29)=-10328 significa que, no ponto x=29, produzir mais uma unidade tende a diminuir o lucro em 10328 (nas mesmas unidades usadas no problema). Pode parecer pesado — respira — isso só indica que, naquele nível de produção, um aumento marginal é prejudicial; nas provas, basta calcular e interpretar rapidamente assim.

Resposta

L(x)=-4 x^{3}-4 x^{2}-4 x+4
L^{\prime}(29)=-10328

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