- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
R:
Passo 1
O enunciado dá a função custo
e pede duas coisas:
- encontrar a função de custo marginal
; - calcular o custo marginal para
, ou seja .
O que é “custo marginal”? Em termos simples, o custo marginal é a derivada da função custo: é a taxa instantânea de variação do custo quando a produção
aumenta. Numericamente,
aproxima quanto o custo total aumenta se for produzida mais uma unidade (no entorno de
). Para obter
usamos cálculo diferencial — a operação que nos dá a derivada de uma função.
Passo 2
Regras/ideias essenciais que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra do expoente (power rule): a derivada de
é . Ex.: a derivada de é . - Regra da constante multiplicativa: a derivada de
é (constante sai multiplicando). - Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Derivada de constante: a derivada de um número constante é
.
Vou aplicar essas regras termo a termo na função dada.
Passo 3
Escrevendo a derivada termo a termo:
Agora aplicando as regras:
- Para
: pela regra do expoente e da constante multiplicativa, . - Para
: é uma constante vezes , então . - Para
: é constante, então .
Somando:
Passo 4
Agora calculamos o custo marginal em
. Substituindo na fórmula:
Fazendo a conta passo a passo:
Portanto
.
Interpretação rápida e incentivo: o valor
significa que, por volta de produzir
unidades, o custo adicional aproximado para produzir mais uma unidade (ou seja, o custo marginal) é
(nas mesmas unidades monetárias do
). Isso é uma aproximação local — boa quando a variação de produção é pequena. Vai bem na prova: derive termo a termo e avalie no ponto pedido. Você conseguiu — continue praticando que pega rapidinho!