1. Dada a função custo C(x)=9 x^{2}+7 x-4. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=24
R: C^{\prime}(x)=18 x+7
C^{\prime}(24)=439

Passo 1

O enunciado dá a função custo
C(x)=9x^{2}+7x-4
e pede duas coisas:
  • encontrar a função de custo marginal C'(x);
  • calcular o custo marginal para x=24, ou seja C'(24).
O que é “custo marginal”? Em termos simples, o custo marginal é a derivada da função custo: é a taxa instantânea de variação do custo quando a produção x aumenta. Numericamente, C'(x) aproxima quanto o custo total aumenta se for produzida mais uma unidade (no entorno de x). Para obter C'(x) usamos cálculo diferencial — a operação que nos dá a derivada de uma função.

Passo 2

Regras/ideias essenciais que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra do expoente (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Ex.: a derivada de \,x^{2}\, é \,2x.
  • Regra da constante multiplicativa: a derivada de \,a\cdot f(x)\, é a\cdot f'(x) (constante sai multiplicando).
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de constante: a derivada de um número constante é 0.
Vou aplicar essas regras termo a termo na função dada.

Passo 3

Escrevendo a derivada termo a termo:
C'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(9x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(7x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-4\bigr).
Agora aplicando as regras:
  • Para \,9x^{2}: pela regra do expoente e da constante multiplicativa, \frac{d}{dx}(9x^{2})=9\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=9\cdot(2x)=18x.
  • Para \,7x: é uma constante vezes x, então \frac{d}{dx}(7x)=7.
  • Para -4: é constante, então \frac{d}{dx}(-4)=0.
Somando:
C'(x)=18x+7.

Passo 4

Agora calculamos o custo marginal em x=24. Substituindo na fórmula:
C'(24)=18\cdot24+7.
Fazendo a conta passo a passo:
18\cdot24=18\cdot(20+4)=18\cdot20+18\cdot4=360+72=432,
432+7=439.
Portanto C'(24)=439.
Interpretação rápida e incentivo: o valor C'(24)=439 significa que, por volta de produzir 24 unidades, o custo adicional aproximado para produzir mais uma unidade (ou seja, o custo marginal) é 439 (nas mesmas unidades monetárias do C). Isso é uma aproximação local — boa quando a variação de produção é pequena. Vai bem na prova: derive termo a termo e avalie no ponto pedido. Você conseguiu — continue praticando que pega rapidinho!

Resposta

C'(x)=18x+7
C'(24)=439

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