Evaluate:
\sqrt{\frac{(0.00004)(25,000)}{(0.02)^{5}(0.125)}}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado: calcular a raiz quadrada da expressão
\sqrt{\dfrac{(0,00004)(25\,000)}{(0,02)^{5}(0,125)}}.
Dados importantes (copiados do enunciado):
  • 0,00004
  • 25\,000
  • 0,02
  • 0,125

Passo 2

Estratégia (apenas a ideia, sem calcular ainda): é muito prático transformar os números em notação científica ou em frações simples, usar as regras de potências para calcular (0,02)^{5}, simplificar numerador/denominador e, por fim, tirar a raiz quadrada usando propriedades das potências. Vou seguir essa rota porque facilita contas sem calculadora.

Passo 3

Converter os números em notação conveniente:
0,00004 = 4\times10^{-5}, \qquad 25\,000 = 2{,}5\times10^{4},
0,02 = 2\times10^{-2}, \qquad 0,125 = \tfrac{1}{8} = 1{,}25\times10^{-1}.

Passo 4

Calcular o numerador usando notação científica:
(0,00004)(25\,000) = (4\times10^{-5})(2{,}5\times10^{4}).
Ao multiplicar potências de dez soma-se os expoentes e multiplica-se os coeficientes:
4\cdot2{,}5 = 10, \qquad 10^{-5}\cdot10^{4}=10^{-1}.
Portanto
(0,00004)(25\,000)=10\times10^{-1}=1.

Passo 5

Calcular o denominador em etapas. Primeiro (0,02)^{5}:
(0,02)^{5}=(2\times10^{-2})^{5}=2^{5}\times10^{-10}=32\times10^{-10}=3{,}2\times10^{-9}.
Agora multiplicar por 0,125 (usei 0,125=1{,}25\times10^{-1}):
(0,02)^{5}\cdot0,125=(3{,}2\times10^{-9})(1{,}25\times10^{-1}).
Multiplicando coeficientes e somando expoentes:
3{,}2\cdot1{,}25=4{,}0, \qquad 10^{-9}\cdot10^{-1}=10^{-10}.
Logo
(0,02)^{5}(0,125)=4{,}0\times10^{-10}=4\times10^{-10}.

Passo 6

Formar a fração e simplificar:
\frac{(0,00004)(25\,000)}{(0,02)^{5}(0,125)}=\frac{1}{4\times10^{-10}}.
Escrevendo isso como potência de dez:
\frac{1}{4\times10^{-10}}=\frac{1}{4}\times10^{10}=0{,}25\times10^{10}=2{,}5\times10^{9}.
Outra reescrita conveniente para extrair raiz: 2{,}5\times10^{9}=25\times10^{8}.

Passo 7

Tirar a raiz quadrada usando \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}:
\sqrt{\,25\times10^{8}\,}=\sqrt{25}\,\sqrt{10^{8}}=5\times10^{4}=50\,000.

Resposta

50\,000

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