- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
Passo 1
O enunciado dá a função custo
e pede duas coisas:
- Encontrar a função de custo marginal (ou seja, a derivada
). - Calcular o custo marginal para
, isto é, .
Também vale anotar que
representa a quantidade produzida (unidades) e
o custo total (unidades monetárias), portanto a unidade de
será “unidades monetárias por unidade produzida”.
Passo 2
O que é “custo marginal” de forma didática e intuitiva:
- O custo marginal é a taxa de variação instantânea do custo quando a produção varia. Em termos matemáticos, é a derivada da função custo.
- Interpretação:
aproxima quanto o custo total muda se a produção aumentar de para (ou, mais precisamente, por uma pequena variação ). - Formalmente, a derivada de
em é o limite do quociente incremental:
Passo 3
Vamos calcular a derivada usando a definição (para fixar a ideia). Primeiro calcule o quociente incremental para
:
Simplificando o numerador:
Logo o quociente fica
Tomando o limite quando
:
Portanto a derivada é constante e igual a
para todo
.
Passo 4
Uma maneira mais direta e prática (útil na prova): usar as regras básicas de derivação.
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
em relação a é .
Aplicando a essas regras a:
Isso confirma o resultado do passo anterior de forma rápida.
Passo 5
Calcular o custo marginal em
. Como
é constante:
Interpretação prática e aviso de prova:
-
significa que, na vizinhança de , produzir uma unidade a mais (ou seja, passar de 14 para 15) reduz o custo total em aproximadamente unidades monetárias. Ou seja, o custo marginal é negativo. - Em exercícios, é importante comentar a interpretação (redução ou aumento do custo) e lembrar que derivada dá a taxa instantânea; para variações grandes a aproximação pode falhar.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (não parte do enunciado, só para ajudar): se
, então
e
. Ali o custo marginal positivo significa que cada unidade produzida a mais aumenta o custo em
.