1. Dada a função custo C(x)=7-3 x. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=14
\begin{aligned} & \mathrm{R}: C^{\prime}(x)=-3 \\\ & C^{\prime}(14)=-3 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x)=7-3x e pede duas coisas:
  • Encontrar a função de custo marginal (ou seja, a derivada C'(x)).
  • Calcular o custo marginal para x=14, isto é, C'(14).
Também vale anotar que x representa a quantidade produzida (unidades) e C(x) o custo total (unidades monetárias), portanto a unidade de C'(x) será “unidades monetárias por unidade produzida”.

Passo 2

O que é “custo marginal” de forma didática e intuitiva:
  • O custo marginal é a taxa de variação instantânea do custo quando a produção varia. Em termos matemáticos, é a derivada da função custo.
  • Interpretação: C'(x) aproxima quanto o custo total muda se a produção aumentar de x para x+1 (ou, mais precisamente, por uma pequena variação \Delta x).
  • Formalmente, a derivada de C em x é o limite do quociente incremental:
C'(x)=\lim_{h\to0}\frac{C(x+h)-C(x)}{h}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada usando a definição (para fixar a ideia). Primeiro calcule o quociente incremental para C(x)=7-3x:
\frac{C(x+h)-C(x)}{h}=\frac{\bigl(7-3(x+h)\bigr)-\bigl(7-3x\bigr)}{h}.
Simplificando o numerador:
\bigl(7-3x-3h\bigr)-\bigl(7-3x\bigr) = -3h.
Logo o quociente fica
\frac{-3h}{h}=-3\quad\text{(para }h\neq0\text{)}.
Tomando o limite quando h\to0:
C'(x)=\lim_{h\to0}-3=-3.
Portanto a derivada é constante e igual a -3 para todo x.

Passo 4

Uma maneira mais direta e prática (útil na prova): usar as regras básicas de derivação.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de ax em relação a x é a.
    Aplicando a essas regras a C(x)=7-3x:
C'(x)=0-3=-3.
Isso confirma o resultado do passo anterior de forma rápida.

Passo 5

Calcular o custo marginal em x=14. Como C'(x) é constante:
C'(14)=-3.
Interpretação prática e aviso de prova:
  • C'(14)=-3 significa que, na vizinhança de x=14, produzir uma unidade a mais (ou seja, passar de 14 para 15) reduz o custo total em aproximadamente 3 unidades monetárias. Ou seja, o custo marginal é negativo.
  • Em exercícios, é importante comentar a interpretação (redução ou aumento do custo) e lembrar que derivada dá a taxa instantânea; para variações grandes a aproximação pode falhar.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (não parte do enunciado, só para ajudar): se D(x)=10+4x, então D'(x)=4 e D'(100)=4. Ali o custo marginal positivo significa que cada unidade produzida a mais aumenta o custo em 4.

Resposta

C'(x)=-3
C'(14)=-3

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