- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
Passo 1
O enunciado dá a função custo e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- A função custo é
.
O que o enunciado pede:
- Encontrar a função de custo marginal (ou seja,
). - Calcular o custo marginal para
(ou seja, ).
Passo 2
O que é “custo marginal” na linguagem matemática (uma mini-aula):
- Custo marginal é a derivada da função custo. A derivada mede a taxa de variação instantânea da função: quanto a função varia por unidade de
quando muda um pouquinho. - A definição de derivada por limite é
onde
é um pequeno incremento na quantidade
. Aqui:
-
é o custo quando a produção aumenta em . -
é a variação do custo devido ao incremento . - Dividindo por
temos a variação por unidade de . - E o limite
dá a taxa instantânea (marginal) para mudanças infinitesimais.
Passo 3
Aplicando a definição de derivada à função dada (cálculo passo a passo):
- Primeiro calcule
:
- Agora monte o quociente das diferenças:
- Simplifique o numerador:
- Então o quociente fica
- Agora tome o limite quando
:
Conclusão: a derivada existe para todo
e é igual a
.
Passo 4
Uma forma alternativa (mais rápida) usando regras de derivação:
- Regra: a derivada de
é e a derivada de uma constante é . - Escrever
. Então
Isso confirma o resultado do passo anterior. Explicando as variáveis na regra: se
, então
. No caso
é
, logo deriva para
.
Passo 5
Calcular o custo marginal em
:
- Como
não depende de , temos diretamente
Passo 6
Interpretação e checagem rápida (ajuda para a prova):
- Significado prático: o custo marginal igual a
significa que, para cada unidade adicional produzida (pequeno aumento de ), o custo aumenta em (na mesma unidade monetária usada em ). - Checagem por diferença finita entre
e :
o que bate com o custo marginal
. Para funções lineares essa igualdade é exata; para funções gerais o custo marginal dá a variação por unidade para incrementos muito pequenos.