1. Dada a função custo C(x)=x-3. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=96
\begin{aligned} & \mathrm{R}: C^{\prime}(x)=1 \\\ & C^{\prime}(96)=1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função custo e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • A função custo é C(x)=x-3.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a função de custo marginal (ou seja, C'(x)).
  • Calcular o custo marginal para x=96 (ou seja, C'(96)).

Passo 2

O que é “custo marginal” na linguagem matemática (uma mini-aula):
  • Custo marginal é a derivada da função custo. A derivada mede a taxa de variação instantânea da função: quanto a função varia por unidade de x quando x muda um pouquinho.
  • A definição de derivada por limite é
C'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{C(x+h)-C(x)}{h},
onde h é um pequeno incremento na quantidade x. Aqui:
  • C(x+h) é o custo quando a produção aumenta em h.
  • C(x+h)-C(x) é a variação do custo devido ao incremento h.
  • Dividindo por h temos a variação por unidade de x.
  • E o limite h\to0 dá a taxa instantânea (marginal) para mudanças infinitesimais.

Passo 3

Aplicando a definição de derivada à função dada (cálculo passo a passo):
  • Primeiro calcule C(x+h):
C(x+h)=(x+h)-3 = x+h-3.
  • Agora monte o quociente das diferenças:
\frac{C(x+h)-C(x)}{h}=\frac{(x+h-3)-(x-3)}{h}.
  • Simplifique o numerador:
(x+h-3)-(x-3)=x+h-3-x+3 = h.
  • Então o quociente fica
\frac{C(x+h)-C(x)}{h}=\frac{h}{h}=1\quad\text{(para }h\neq0\text{)}.
  • Agora tome o limite quando h\to0:
C'(x)=\lim_{h\to0}1 = 1.
Conclusão: a derivada existe para todo x e é igual a 1.

Passo 4

Uma forma alternativa (mais rápida) usando regras de derivação:
  • Regra: a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante é 0.
  • Escrever C(x)=x-3. Então
C'(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)=1-0=1.
Isso confirma o resultado do passo anterior. Explicando as variáveis na regra: se f(x)=ax^n, então f'(x)=a n x^{n-1}. No caso x é 1\cdot x^1, logo deriva para 1.

Passo 5

Calcular o custo marginal em x=96:
  • Como C'(x)=1 não depende de x, temos diretamente
C'(96)=1.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (ajuda para a prova):
  • Significado prático: o custo marginal igual a 1 significa que, para cada unidade adicional produzida (pequeno aumento de x), o custo aumenta em 1 (na mesma unidade monetária usada em C).
  • Checagem por diferença finita entre x=96 e x=97:
C(97)-C(96)=(97-3)-(96-3)=1,
o que bate com o custo marginal 1. Para funções lineares essa igualdade é exata; para funções gerais o custo marginal dá a variação por unidade para incrementos muito pequenos.

Resposta

C'(x)=1
C'(96)=1

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