- Dada a função custo
e a função receita
. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá as duas funções seguintes:
- Custo:
. - Receita:
.
O que o problema pede:
- Encontrar a função lucro marginal (isto é, a derivada do lucro em função de
). - Calcular o valor do lucro marginal para
.
Passo 2
Primeiro precisamos obter a função lucro
. Por definição, lucro é receita menos custo, ou seja:
Substituindo as expressões dadas:
Agora desenvolve a subtração passo a passo:
Agrupando termos semelhantes (os termos com
e os termos constantes):
Passo 3
Explicação didática do que é “lucro marginal”: o lucro marginal é a taxa de variação instantânea do lucro em relação à quantidade produzida
. Matematicamente, é a derivada da função lucro:
Intuição simples: se
, isso significa que, ao produzir mais uma unidade (aproximadamente de
para
), o lucro varia cerca de
(unidades monetárias). Para funções lineares isto é exato:
no caso de inclinação constante.
Passo 4
Regra prática de derivação que vamos usar: a derivada de uma função linear
em relação a
é
. Ou seja,
Aplicando isso a
(aqui
e
), obtemos:
Passo 5
Como
é constante, o valor em
é simplesmente:
Interpretação prática e motivadora: produzir mais uma unidade quando se está em
aumenta o lucro em exatamente
(uma unidade monetária). Isso vale para qualquer
aqui, já que a inclinação é constante.
Passo 6
Observação alternativa (útil em provas): pode-se também calcular o lucro marginal como diferença entre receita marginal e custo marginal:
logo
confirmando o resultado anterior.