1. Dada a função custo C(x)=-3 x-1 e a função receita R(x)=-2 x-7. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=33
Resposta:
\begin{array}{r} L(x)=x-6 \\\ L^{\prime}(x)=1 \\\ L^{\prime}(33)=1 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá as duas funções seguintes:
  • Custo: C(x)=-3x-1.
  • Receita: R(x)=-2x-7.
O que o problema pede:
  • Encontrar a função lucro marginal (isto é, a derivada do lucro em função de x).
  • Calcular o valor do lucro marginal para x=33.

Passo 2

Primeiro precisamos obter a função lucro L(x). Por definição, lucro é receita menos custo, ou seja:
L(x)=R(x)-C(x).
Substituindo as expressões dadas:
L(x)=(-2x-7)-(-3x-1).
Agora desenvolve a subtração passo a passo:
L(x)=-2x-7+3x+1.
Agrupando termos semelhantes (os termos com x e os termos constantes):
L(x)=(-2x+3x)+(-7+1)=x-6.

Passo 3

Explicação didática do que é “lucro marginal”: o lucro marginal é a taxa de variação instantânea do lucro em relação à quantidade produzida x. Matematicamente, é a derivada da função lucro:
\text{lucro marginal} = L'(x).
Intuição simples: se L'(x)=k, isso significa que, ao produzir mais uma unidade (aproximadamente de x para x+1), o lucro varia cerca de k (unidades monetárias). Para funções lineares isto é exato: L(x+1)-L(x)=L'(x) no caso de inclinação constante.

Passo 4

Regra prática de derivação que vamos usar: a derivada de uma função linear \,ax+b\, em relação a x é a. Ou seja,
\frac{d}{dx}(ax+b)=a.
Aplicando isso a L(x)=x-6 (aqui a=1 e b=-6), obtemos:
L'(x)=1.

Passo 5

Como L'(x)=1 é constante, o valor em x=33 é simplesmente:
L'(33)=1.
Interpretação prática e motivadora: produzir mais uma unidade quando se está em x=33 aumenta o lucro em exatamente 1 (uma unidade monetária). Isso vale para qualquer x aqui, já que a inclinação é constante.

Passo 6

Observação alternativa (útil em provas): pode-se também calcular o lucro marginal como diferença entre receita marginal e custo marginal:
R'(x)=\frac{d}{dx}(-2x-7)=-2, \qquad C'(x)=\frac{d}{dx}(-3x-1)=-3,
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L'(x)=R'(x)-C'(x)=-2-(-3)=1,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

L(x)=x-6
L'(x)=1
L'(33)=1

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