- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
R:
Passo 1
O enunciado dá a função custo
e pede duas coisas:
- Encontrar a função de custo marginal (ou seja, a derivada de
, normalmente escrita ). - Calcular o valor do custo marginal quando
, isto é .
Informações relevantes fornecidas:
- A função custo é
. - A tarefa é: (1) derivar essa função; (2) avaliar a derivada em
.
Passo 2
O que é custo marginal e como calculá‑lo na prova (ideia e fórmula que vamos usar).
- Intuição: o custo marginal em
mede a variação instantânea do custo quando se produz uma unidade a mais, ou seja, é a derivada de em . - Definição (forma teórica): a derivada de
em pode ser definida como
Na prática em provas com polinômios usamos regras de derivação que tornam isso rápido.
Regra que vamos aplicar (regra do poder e linearidade):
- Regra do poder: para um monômio
vale
onde
é constante e
é inteiro (ou real).
- Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero:
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo à função
.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
:
Derivada do terceiro termo (constante)
:
Somando as derivadas (pela linearidade):
Passo 4
Agora avaliar
em
.
Primeiro calcular
. Faço por decomposição:
Como o coeficiente é negativo,
.
Agora somar o termo
:
Passo 5
Interpretação rápida (útil para a prova):
dá a variação instantânea do custo por unidade produzida. Aqui
significa que, naquele nível de produção
, a função custo está diminuindo — produzir uma unidade a mais reduziria o custo em aproximadamente
(unidades monetárias por unidade produzida). Em economia/engenharia isso pode indicar economias de escala até esse ponto. Não esqueça de comentar unidades da resposta conforme o contexto da questão da prova.