1. Dada a função custo C(x)=-6 x^{2}-4 x-8. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=76
R: C^{\prime}(x)=-12 x-4
C^{\prime}(76)=-916

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x)=-6x^{2}-4x-8 e pede duas coisas:
  • Encontrar a função de custo marginal (ou seja, a derivada de C, normalmente escrita C'(x)).
  • Calcular o valor do custo marginal quando x=76, isto é C'(76).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função custo é \;C(x)=-6x^{2}-4x-8.
  • A tarefa é: (1) derivar essa função; (2) avaliar a derivada em x=76.

Passo 2

O que é custo marginal e como calculá‑lo na prova (ideia e fórmula que vamos usar).
  • Intuição: o custo marginal em x mede a variação instantânea do custo quando se produz uma unidade a mais, ou seja, é a derivada de C em x.
  • Definição (forma teórica): a derivada de C em x pode ser definida como
C'(x)=\lim_{h\to0}\frac{C(x+h)-C(x)}{h}.
Na prática em provas com polinômios usamos regras de derivação que tornam isso rápido.
Regra que vamos aplicar (regra do poder e linearidade):
  • Regra do poder: para um monômio \;a x^{n}\; vale
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n\;x^{n-1},
onde a é constante e n é inteiro (ou real).
  • Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x),\qquad \frac{d}{dx}(k)=0.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo à função \;C(x)=-6x^{2}-4x-8.
Derivada do primeiro termo -6x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr) = -6\cdot 2\;x^{2-1} = -12x.
Derivada do segundo termo -4x:
\frac{d}{dx}\bigl(-4x\bigr) = -4\cdot 1\;x^{1-1} = -4\cdot x^{0} = -4.
Derivada do terceiro termo (constante) -8:
\frac{d}{dx}(-8)=0.
Somando as derivadas (pela linearidade):
C'(x) = -12x -4 + 0 = -12x -4.

Passo 4

Agora avaliar C'(x) em x=76.
Primeiro calcular -12\cdot 76. Faço por decomposição:
12\cdot 76 = 12\cdot(70+6)=12\cdot70+12\cdot6=840+72=912.
Como o coeficiente é negativo, -12\cdot76 = -912.
Agora somar o termo -4:
C'(76) = -912 - 4 = -916.

Passo 5

Interpretação rápida (útil para a prova): C'(x) dá a variação instantânea do custo por unidade produzida. Aqui C'(76)=-916 significa que, naquele nível de produção x=76, a função custo está diminuindo — produzir uma unidade a mais reduziria o custo em aproximadamente 916 (unidades monetárias por unidade produzida). Em economia/engenharia isso pode indicar economias de escala até esse ponto. Não esqueça de comentar unidades da resposta conforme o contexto da questão da prova.

Resposta

C'(x)=-12x-4
C'(76)=-916

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