- Dada a função custo
. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para
Passo 1
O enunciado dá a função custo
e pede duas coisas:
- Encontrar a função de custo marginal (ou seja,
). - Calcular o valor do custo marginal para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
está completa e depende apenas de . - Não há outras condições ou unidades fornecidas.
Passo 2
O que é custo marginal e como vamos calculá-lo (aula rápida e prática).
- Custo marginal é a taxa de variação do custo quando a produção
aumenta de 1 unidade; matematicamente é a derivada de em relação a , isto é, . - Regra que vamos usar (regra do poder/potência e linearidade):
- Se
com constante e inteiro, então - A derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é
.
- Se
- Explicando em palavras: cada termo
vira ; termo linear vira ; constante vira . - Vamos aplicar isso termo a termo em
.
Passo 3
Derivando
termo a termo (aplicando a regra do poder e a linearidade).
- Para o termo
: aplicando , - Para o termo
: - Para o termo
: - Para a constante
:
Somando as derivadas dos termos:
Passo 4
Agora vamos calcular
. Primeiro calculamos
.
-
Portantoem é .
Passo 5
Calcular cada parcela de
.
- Primeiro
. -
. -
. - Soma:
. - Com o sinal:
.
-
- Em seguida
: -
. -
. - Soma:
.
-
Passo 6
Somar as parcelas para obter o valor final:
- Primeiro somamos
. - Depois subtrai-se
: .
Assim o valor numérico final é.