1. Dada a função custo C(x)=-7 x^{3}+7 x^{2}-9 x-8. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=68
    \mathrm{R}: C^{\prime}(x)=-21 x^{2}+14 x-9
    C^{\prime}(68)=-96161

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x)=-7 x^{3}+7 x^{2}-9 x-8 e pede duas coisas:
  • Encontrar a função de custo marginal (ou seja, C'(x)).
  • Calcular o valor do custo marginal para x=68.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de C(x) está completa e depende apenas de x.
  • Não há outras condições ou unidades fornecidas.

Passo 2

O que é custo marginal e como vamos calculá-lo (aula rápida e prática).
  • Custo marginal é a taxa de variação do custo quando a produção x aumenta de 1 unidade; matematicamente é a derivada de C em relação a x, isto é, C'(x).
  • Regra que vamos usar (regra do poder/potência e linearidade):
    • Se f(x)=a x^{n} com a constante e n inteiro, então f'(x)=a n x^{n-1}.
    • A derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é 0.
  • Explicando em palavras: cada termo a x^{n} vira a n x^{n-1}; termo linear b x vira b; constante vira 0.
  • Vamos aplicar isso termo a termo em C(x).

Passo 3

Derivando C(x) termo a termo (aplicando a regra do poder e a linearidade).
  • Para o termo -7 x^{3}: aplicando \dfrac{d}{dx}\big(a x^{n}\big)=a n x^{n-1}, \dfrac{d}{dx}\big(-7 x^{3}\big) = -7\cdot 3 x^{2} = -21 x^{2}.
  • Para o termo 7 x^{2}: \dfrac{d}{dx}\big(7 x^{2}\big) = 7\cdot 2 x^{1} = 14 x.
  • Para o termo -9 x: \dfrac{d}{dx}\big(-9 x\big) = -9.
  • Para a constante -8: \dfrac{d}{dx}\big(-8\big) = 0.
Somando as derivadas dos termos:
C'(x) = -21 x^{2} + 14 x - 9.

Passo 4

Agora vamos calcular C'(68). Primeiro calculamos 68^{2}.
  • 68^{2} = (60+8)^{2} = 60^{2} + 2\cdot60\cdot8 + 8^{2} = 3600 + 960 + 64 = 4624.
    Portanto \,x^{2} em x=68 é 4624.

Passo 5

Calcular cada parcela de C'(68) = -21\cdot 68^{2} + 14\cdot 68 - 9.
  • Primeiro -21\cdot 68^{2} = -21\cdot 4624.
    • 4624\cdot 20 = 92\,480.
    • 4624\cdot 1 = 4\,624.
    • Soma: 4624\cdot 21 = 92\,480 + 4\,624 = 97\,104.
    • Com o sinal: -21\cdot 4624 = -97\,104.
  • Em seguida 14\cdot 68:
    • 14\cdot 60 = 840.
    • 14\cdot 8 = 112.
    • Soma: 14\cdot 68 = 952.

Passo 6

Somar as parcelas para obter o valor final:
  • Primeiro somamos -97\,104 + 952 = -96\,152.
  • Depois subtrai-se 9: -96\,152 - 9 = -96\,161.
    Assim o valor numérico final é -96\,161.

Resposta

C'(x)=-21 x^{2}+14 x-9
C'(68)=-96161

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