- Dada a função custo
e a função receita
. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá as funções custo e receita e pede a função lucro marginal e seu valor em
.
Informações fornecidas:
O que é pedido:
- Encontrar a função lucro
e, em seguida, a função lucro marginal . - Calcular
.
Passo 2
Definição e primeiro passo prático.
- A função lucro
é a diferença entre receita e custo: . - Aqui
representa a quantidade produzida/vendida (unidades), é a receita total (por exemplo em reais) para essa quantidade e é o custo total para essa quantidade. O lucro tem as mesmas unidades de e .
Calculemos
substituindo as funções dadas:
Agora somando termo a termo:
Passo 3
O que é lucro marginal e como derivar.
- O lucro marginal
é a derivada de em relação a . Intuitivamente, indica quanto o lucro total varia quando se produz uma unidade a mais (taxa de variação instantânea): unidades de lucro por unidade produzida. - Regra prática: para derivar um polinômio termo a termo, usa-se a regra do poder (power rule): a derivada de
é . A derivada de uma constante é . A derivada de é .
Aplique a regra termo a termo em
:
Somando:
Passo 4
(Método alternativo — vale para checar) Derivar receita e custo separadamente e subtrair.
-
-
- Então
que confirma o resultado anterior.
Passo 5
Calcular
numericamente.
Substitua
em
:
Calcule
:
.
Portanto
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo.
- O valor
significa que, ao passar de para unidades (mais precisamente, a taxa instantânea nesse ponto), o lucro aumenta cerca de (na unidade monetária usada: por exemplo reais) por cada unidade adicional produzida. - Está indo bem — você conseguiu seguir a cadeia receita → lucro → derivada. Continue praticando exercícios parecidos que isso fica automático rápido!