1. Dada a função custo C(x)=-9 x^{2}-8 x-1 e a função receita R(x)=3 x^{2}-3 x+9. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=27
Resposta:
\begin{gathered} L(x)=12 x^{2}+5 x+10 \\\ L^{\prime}(x)=24 x+5 \\\ L^{\prime}(27)=653 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá as funções custo e receita e pede a função lucro marginal e seu valor em x=27.
Informações fornecidas:
C(x) = -9x^{2} - 8x - 1
R(x) = 3x^{2} - 3x + 9
O que é pedido:
  • Encontrar a função lucro L(x) e, em seguida, a função lucro marginal L'(x).
  • Calcular L'(27).

Passo 2

Definição e primeiro passo prático.
  • A função lucro L(x) é a diferença entre receita e custo: L(x)=R(x)-C(x).
  • Aqui x representa a quantidade produzida/vendida (unidades), R(x) é a receita total (por exemplo em reais) para essa quantidade e C(x) é o custo total para essa quantidade. O lucro L(x) tem as mesmas unidades de R e C.
Calculemos L(x) substituindo as funções dadas:
L(x)=R(x)-C(x) = \bigl(3x^{2}-3x+9\bigr) - \bigl(-9x^{2}-8x-1\bigr)
Agora somando termo a termo:
L(x)=3x^{2}-3x+9+9x^{2}+8x+1
L(x)=12x^{2}+5x+10

Passo 3

O que é lucro marginal e como derivar.
  • O lucro marginal L'(x) é a derivada de L(x) em relação a x. Intuitivamente, L'(x) indica quanto o lucro total varia quando se produz uma unidade a mais (taxa de variação instantânea): unidades de lucro por unidade produzida.
  • Regra prática: para derivar um polinômio termo a termo, usa-se a regra do poder (power rule): a derivada de a x^{n} é a n x^{n-1}. A derivada de uma constante é 0. A derivada de b x é b.
Aplique a regra termo a termo em L(x)=12x^{2}+5x+10:
\frac{d}{dx}\bigl(12x^{2}\bigr)=12\cdot 2 x^{1}=24x
\frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)=5
\frac{d}{dx}\bigl(10\bigr)=0
Somando:
L'(x)=24x+5

Passo 4

(Método alternativo — vale para checar) Derivar receita e custo separadamente e subtrair.
  • R'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-3x+9\bigr)=6x-3.
  • C'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(-9x^{2}-8x-1\bigr)=-18x-8.
  • Então L'(x)=R'(x)-C'(x)=(6x-3)-(-18x-8)=6x-3+18x+8=24x+5, que confirma o resultado anterior.

Passo 5

Calcular L'(27) numericamente.
Substitua x=27 em L'(x)=24x+5:
L'(27)=24\cdot 27 + 5.
Calcule 24\cdot 27: 24\cdot 27 = 24\cdot(25+2)=24\cdot25+24\cdot2=600+48=648.
Portanto
L'(27)=648+5=653.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo.
  • O valor L'(27)=653 significa que, ao passar de 27 para 28 unidades (mais precisamente, a taxa instantânea nesse ponto), o lucro aumenta cerca de 653 (na unidade monetária usada: por exemplo reais) por cada unidade adicional produzida.
  • Está indo bem — você conseguiu seguir a cadeia receita → lucro → derivada. Continue praticando exercícios parecidos que isso fica automático rápido!

Resposta

L(x)=12x^{2}+5x+10
L'(x)=24x+5
L'(27)=653

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