Dada a função f definida por:
Determine f(x)=rcc3 x-2, & se x>-1, 3, & se x=-1 5-a x, & se x<-1 para que exista a in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício manda a gente trabalhar com uma função que tem três partes diferentes, dependendo de onde o x está na reta. Nosso objetivo é encontrar o valor de a que faz com que o limite da função quando x se aproxima de -1 exista. Para isso, vamos usar o conceito de limites laterais, que são os limites quando nos aproximamos do ponto por valores maiores ou menores que ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que lim x -1 f(x) exista, os limites quando x se aproxima de -1 pela direita ( x to -1^+) e pela esquerda ( x to -1^-) precisam ser iguais. Então, vamos calcular esses dois limites separadamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando x se aproxima de -1 por valores maiores que -1. Nessa região, a função é f(x) = 3x - 2. Então:
lim x -1^+ f(x) = lim x -1^+ (3x - 2) = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando x se aproxima de -1 por valores menores que -1. Nessa área, a função é f(x) = 5 - a x. Assim:
lim x -1^- f(x) = lim x -1^- (5 - a x) = 5 - a(-1) = 5 + a

Passo 5

Para que o limite geral exista, os dois limites laterais devem ser iguais. Ou seja:
-5 = 5 + a
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a.

Passo 6

Resolvendo a equação:
-5 = 5 + a -5 - 5 = a -10 = a

Resposta

O valor de a que faz com que o limite lim x -1 f(x) exista é -10.

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