Dada a função f, encontre a sua aproximação linear L(x, y) no ponto P indicado para:
f(x, y)=-6 x^{4} y^{5}+3 x^{2} y^{3}-2 x y, P=(1,2). Utilize essa aproximação para estimar o valor de f(1,3 ; 2,1).

Passo 1

O enunciado fornece a função e o ponto:
  • Função: f(x,y) = -6 x^{4} y^{5} + 3 x^{2} y^{3} - 2 x y.
  • Ponto onde linearizar: P=(1,2).
O que é pedido:
  1. Encontrar a aproximação linear L(x,y) de f em P.
  2. Usar essa aproximação para estimar o valor de f em x=1,3 e y=2,1 (a notação 1,3 e 2,1 são decimais: 1{,}3 e 2{,}1).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): a aproximação linear (ou linearização) de uma função de duas variáveis f(x,y) em torno de um ponto P=(a,b) é a primeira ordem da expansão de Taylor e dá uma reta plana que aproxima f perto de P. A fórmula é
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde:
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b) (ou seja, a inclinação de f na direção x mantendo y fixo),
  • f_y(a,b) é a derivada parcial em relação a y avaliada em (a,b).
Para calcular f_x e f_y usamos a regra do poder (derivada de x^n é n x^{n-1}) e tratamos a outra variável como constante ao derivar parcialmente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais gerais de f(x,y).
Derivando termo a termo:
  • Para -6 x^{4} y^{5}, ao derivar em relação a x obtemos -6\cdot 4 x^{3} y^{5} = -24 x^{3} y^{5}.
  • Para 3 x^{2} y^{3}, derivando em x obtemos 3\cdot 2 x y^{3} = 6 x y^{3}.
  • Para -2 x y, derivando em x obtemos -2 y.
Logo
f_x(x,y) = -24 x^{3} y^{5} + 6 x y^{3} - 2 y.
Agora as derivadas em relação a y:
  • Para -6 x^{4} y^{5}, derivando em y obtemos -6 x^{4}\cdot 5 y^{4} = -30 x^{4} y^{4}.
  • Para 3 x^{2} y^{3}, derivando em y obtemos 3 x^{2}\cdot 3 y^{2} = 9 x^{2} y^{2}.
  • Para -2 x y, derivando em y obtemos -2 x.
Logo
f_y(x,y) = -30 x^{4} y^{4} + 9 x^{2} y^{2} - 2 x.

Passo 4

Avaliar f, f_x e f_y no ponto P=(1,2).
Calcular f(1,2):
f(1,2) = -6\cdot 1^{4}\cdot 2^{5} + 3\cdot 1^{2}\cdot 2^{3} - 2\cdot 1\cdot 2.
Calcular potências e produtos:
2^{5}=32,\quad 2^{3}=8.
Então
f(1,2) = -6\cdot 32 + 3\cdot 8 - 4 = -192 + 24 - 4 = -172.
Calcular f_x(1,2):
f_x(1,2) = -24\cdot 1^{3}\cdot 2^{5} + 6\cdot 1\cdot 2^{3} - 2\cdot 2.
Usando 2^{5}=32 e 2^{3}=8:
f_x(1,2) = -24\cdot 32 + 6\cdot 8 - 4 = -768 + 48 - 4 = -724.
Calcular f_y(1,2):
f_y(1,2) = -30\cdot 1^{4}\cdot 2^{4} + 9\cdot 1^{2}\cdot 2^{2} - 2\cdot 1.
Com 2^{4}=16 e 2^{2}=4:
f_y(1,2) = -30\cdot 16 + 9\cdot 4 - 2 = -480 + 36 - 2 = -446.

Passo 5

Montar a aproximação linear L(x,y) usando os valores obtidos:
L(x,y)=f(1,2)+f_x(1,2)\,(x-1)+f_y(1,2)\,(y-2).
Substituindo números:
L(x,y) = -172 -724\,(x-1) -446\,(y-2).
Se quiser, pode expandir:
L(x,y) = -172 -724x +724 -446y +892 = (-172+724+892) -724x -446y.
Somando constantes:
-172+724+892 = 1444,
logo
L(x,y) = 1444 -724x -446y.
(usar a forma que achar mais prática; ambas representam a mesma aproximação linear.)

Passo 6

Interpretar o ponto onde aproximar: o enunciado pede f(1,3 ; 2,1). Interpreto isso como x=1{,}3 e y=2{,}1 (notação com vírgula decimal). Calcular as diferenças em relação a P:
x-1 = 1{,}3-1 = 0{,}3,\qquad y-2 = 2{,}1-2 = 0{,}1.

Passo 7

Usar L para estimar f(1{,}3,\,2{,}1). Usando a forma não expandida é direto:
L(1{,}3,2{,}1) = -172 -724\cdot(0{,}3) -446\cdot(0{,}1).
Calcular os produtos:
-724\cdot 0{,}3 = -217{,}2,\qquad -446\cdot 0{,}1 = -44{,}6.
Somando:
L(1{,}3,2{,}1) = -172 -217{,}2 -44{,}6 = -433{,}8.
Portanto a estimativa por linearização é -433{,}8. Lembrete amigável: a aproximação linear costuma ser boa quando as variações |x-a| e |y-b| são pequenas (aqui 0{,}3 e 0{,}1), então essa estimativa é razoável.

Resposta

L(x,y) = -172 -724\,(x-1) -446\,(y-2)
f(1{,}3,\,2{,}1) \approx -433{,}8

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