Dada a função
, encontre a sua aproximação linear
no ponto
indicado para:
. Utilize essa aproximação para estimar o valor de
.
Passo 1
O enunciado fornece a função e o ponto:
- Função:
. - Ponto onde linearizar:
.
O que é pedido:
- Encontrar a aproximação linear
de em . - Usar essa aproximação para estimar o valor de
em e (a notação e são decimais: e ).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): a aproximação linear (ou linearização) de uma função de duas variáveis
em torno de um ponto
é a primeira ordem da expansão de Taylor e dá uma reta plana que aproxima
perto de
. A fórmula é
onde:
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada em (ou seja, a inclinação de na direção mantendo fixo), -
é a derivada parcial em relação a avaliada em .
Para calcular
e
usamos a regra do poder (derivada de
é
) e tratamos a outra variável como constante ao derivar parcialmente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais gerais de
.
Derivando termo a termo:
- Para
, ao derivar em relação a obtemos . - Para
, derivando em obtemos . - Para
, derivando em obtemos .
Logo
Agora as derivadas em relação a
:
- Para
, derivando em obtemos . - Para
, derivando em obtemos . - Para
, derivando em obtemos .
Logo
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
.
Calcular
:
Calcular potências e produtos:
Então
Calcular
:
Usando
e
:
Calcular
:
Com
e
:
Passo 5
Montar a aproximação linear
usando os valores obtidos:
Substituindo números:
Se quiser, pode expandir:
Somando constantes:
logo
(usar a forma que achar mais prática; ambas representam a mesma aproximação linear.)
Passo 6
Interpretar o ponto onde aproximar: o enunciado pede
. Interpreto isso como
e
(notação com vírgula decimal). Calcular as diferenças em relação a
:
Passo 7
Usar
para estimar
. Usando a forma não expandida é direto:
Calcular os produtos:
Somando:
Portanto a estimativa por linearização é
. Lembrete amigável: a aproximação linear costuma ser boa quando as variações
e
são pequenas (aqui
e
), então essa estimativa é razoável.