Dada a função
. Faça o que a) ( 2 pts) Determine os pontos criticos de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} + 3x + 1 $ e precisamos determinar os pontos críticos dessa função.
Conteúdo da Matéria: Pontos críticos de uma função são os valores de $ x $ onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na gráfica da função.
O que vamos precisar: Para encontrar os pontos críticos, vamos precisar calcular a derivada de $ f(x) $, igualá-la a zero e resolver a equação resultante para encontrar os valores de $ x $.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
A função é:
Calculando a derivada termo a termo:
- A derivada de $ \frac{x^{3}}{3} $ é $ x^{2} $ (usamos a regra do poder: $ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $).
- A derivada de $ 2x^{2} $ é $ 4x $.
- A derivada de $ 3x $ é $ 3 $.
- A derivada de uma constante, como $ 1 $, é $ 0 $.
Portanto, a derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = x^{2} + 4x + 3 $, precisamos encontrar onde essa derivada é igual a zero, pois esses pontos são os candidatos a serem pontos críticos.
Então, igualamos a derivada a zero:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} + 4x + 3 = 0 $. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é aplicada para resolver equações do tipo $ ax^{2} + bx + c = 0 $.
Fórmula de Bhaskara:
Identificando os coeficientes:
- $ a = 1 $
- $ b = 4 $
- $ c = 3 $
Aplicando na fórmula:
Calculando a raiz quadrada:
Então:
Passo 5
Vamos calcular as duas possibilidades para $ x $:
- Primeira solução:
- Segunda solução:
Portanto, os valores de $ x $ que tornam a derivada igual a zero são $ x = -1 $ e $ x = -3 $.
Resposta
Os pontos críticos de $ f $ são $ x = -1 $ e $ x = -3 $.