Dada a função f(x)=x^33+2 x^2+3 x+1. Faça o que a) ( 2 pts) Determine os pontos criticos de f.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} + 3x + 1 $ e precisamos determinar os pontos críticos dessa função.
Conteúdo da Matéria: Pontos críticos de uma função são os valores de $ x $ onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na gráfica da função.
O que vamos precisar: Para encontrar os pontos críticos, vamos precisar calcular a derivada de $ f(x) $, igualá-la a zero e resolver a equação resultante para encontrar os valores de $ x $.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
A função é:
f(x)
Calculando a derivada termo a termo:
  • A derivada de $ \frac{x^{3}}{3} $ é $ x^{2} $ (usamos a regra do poder: $ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $).
  • A derivada de $ 2x^{2} $ é $ 4x $.
  • A derivada de $ 3x $ é $ 3 $.
  • A derivada de uma constante, como $ 1 $, é $ 0 $.
Portanto, a derivada de $ f(x) $ é:
f(x) = x^33 + 2x^2 + 3x + 1

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = x^{2} + 4x + 3 $, precisamos encontrar onde essa derivada é igual a zero, pois esses pontos são os candidatos a serem pontos críticos.
Então, igualamos a derivada a zero:
f'(x) = x^2 + 4x + 3

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} + 4x + 3 = 0 $. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é aplicada para resolver equações do tipo $ ax^{2} + bx + c = 0 $.
Fórmula de Bhaskara:
x^2 + 4x + 3 = 0
Identificando os coeficientes:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 4 $
  • $ c = 3 $
Aplicando na fórmula:
ax^2 + bx + c = 0
Calculando a raiz quadrada:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então:
a = 1

Passo 5

Vamos calcular as duas possibilidades para $ x $:
  1. Primeira solução:
x
  1. Segunda solução:
x = -4 + 22 = -22 = -1
Portanto, os valores de $ x $ que tornam a derivada igual a zero são $ x = -1 $ e $ x = -3 $.

Resposta

Os pontos críticos de $ f $ são $ x = -1 $ e $ x = -3 $.

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