Justificar se a função possui pontos extremantes
em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3x - 3y $ e precisamos verificar se ela tem pontos extremantes (máximos ou mínimos) no conjunto $ A = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2 e |y| \leq 2} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e analisar os pontos críticos dentro desse domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero:
Então, os pontos críticos são $ (1, 1) $, $ (1, -1) $, $ (-1, 1) $ e $ (-1, -1) $.
Passo 4
Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro do conjunto $ A $. Lembrando que $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ |y| \leq 2 $:
- $ (1, 1) $: Está em $ A $.
- $ (1, -1) $: Está em $ A $.
- $ (-1, 1) $: $ x = -1 $ não está entre 0 e 2, então fora de $ A $.
- $ (-1, -1) $: $ x = -1 $ não está entre 0 e 2, então fora de $ A $.
Portanto, os pontos críticos dentro de $ A $ são $ (1, 1) $ e $ (1, -1) $.
Passo 5
Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, vamos usar a segunda derivada. Calculamos:
O discriminante $ D $ é dado por:
Agora, avaliamos $ D $ nos pontos críticos:
-
Para $ (1, 1) $:
Como $ f_{xx} = 6 \cdot 1 = 6 > 0 $, é um ponto de mínimo. -
Para $ (1, -1) $:
Aqui, $ D < 0 $, indicando um ponto de sela.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3x - 3y $ possui um ponto extremante de mínimo no ponto $ (1, 1) $ dentro do conjunto $ A $. O ponto $ (1, -1) $ é um ponto de sela e, portanto, não é um extremante.