Justificar se a função possui pontos extremantes f(x, y)=x^3+y^3-3 x-3 y em A= (x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 2 e |y| <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3x - 3y $ e precisamos verificar se ela tem pontos extremantes (máximos ou mínimos) no conjunto $ A = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2 e |y| \leq 2} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e analisar os pontos críticos dentro desse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
f
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero:
3x^2 - 3 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm1
3y^2 - 3 = 0 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = pm1
Então, os pontos críticos são $ (1, 1) $, $ (1, -1) $, $ (-1, 1) $ e $ (-1, -1) $.

Passo 4

Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro do conjunto $ A $. Lembrando que $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ |y| \leq 2 $:
  • $ (1, 1) $: Está em $ A $.
  • $ (1, -1) $: Está em $ A $.
  • $ (-1, 1) $: $ x = -1 $ não está entre 0 e 2, então fora de $ A $.
  • $ (-1, -1) $: $ x = -1 $ não está entre 0 e 2, então fora de $ A $.
Portanto, os pontos críticos dentro de $ A $ são $ (1, 1) $ e $ (1, -1) $.

Passo 5

Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, vamos usar a segunda derivada. Calculamos:
fxx = 6x
fyy = 6y
fxy = fyx = 0
O discriminante $ D $ é dado por:
D
Agora, avaliamos $ D $ nos pontos críticos:
  • Para $ (1, 1) $:
    D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (6x)(6y) - 0 = 36xy
    Como $ f_{xx} = 6 \cdot 1 = 6 > 0 $, é um ponto de mínimo.
  • Para $ (1, -1) $:
    D
    Aqui, $ D < 0 $, indicando um ponto de sela.

Resposta

A função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3x - 3y $ possui um ponto extremante de mínimo no ponto $ (1, 1) $ dentro do conjunto $ A $. O ponto $ (1, -1) $ é um ponto de sela e, portanto, não é um extremante.

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