1. Dada a função f(x)=-2 x^{2}+7 x-5 determina:
    a. Os zeros da função.
    b. f(x) \leq 0
    c. As coordenadas do vértice da parábola.
    d. O contradomínio da função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática f(x) = -2x^{2} + 7x - 5
e pede quatro coisas: (a) os zeros; (b) o conjunto onde f(x)\le0; (c) o vértice da parábola; (d) o contradomínio.
O conteúdo necessário é o estudo de funções quadráticas: uso da fórmula de Bhaskara, análise de sinal para parábolas e cálculo de vértice.

Passo 2

Para achar os zeros, resolvemos \;f(x)=0\;. Calculamos o discriminante: \Delta = b^{2} - 4ac = 7^{2} - 4(-2)(-5) = 49 - 40 = 9.
Pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 \pm 3}{2\cdot(-2)}.
Logo os zeros são
x_{1} = \frac{-7 + 3}{-4} = 1, \qquad x_{2} = \frac{-7 - 3}{-4} = \frac{-10}{-4} = 2{,}5.

Passo 3

Como o coeficiente principal a=-2 é negativo, a parábola abre para baixo. Assim f(x)\le0 ocorre fora do intervalo entre as raízes. Portanto
f(x)\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le 1 \quad\text{ou}\quad x\ge 2{,}5.

Passo 4

O vértice ocorre em
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2\cdot(-2)} = \frac{7}{4} = 1{,}75.
Para y_{v} substituímos na função:
y_{v} = f\bigl(\tfrac{7}{4}\bigr) = -2\bigl(\tfrac{7}{4}\bigr)^{2} + 7\bigl(\tfrac{7}{4}\bigr) - 5 = -2\cdot\tfrac{49}{16} + \tfrac{49}{4} - 5 = -\tfrac{49}{8} + \tfrac{49}{4} - \tfrac{40}{8} = \tfrac{-49 + 98 - 40}{8} = \tfrac{9}{8}.
Então o vértice é \bigl(\tfrac{7}{4},\,\tfrac{9}{8}\bigr).

Passo 5

O contradomínio de f é o conjunto de valores que f(x) atinge. Como a parábola abre para baixo, o valor máximo é y_{v}=\tfrac{9}{8} e não há limite inferior. Logo
\text{Im}(f) = \bigl(-\infty,\;\tfrac{9}{8}\bigr].

Resposta

a. Os zeros são x=1 e x=2{,}5.
b. f(x)\le0 para x\le1 ou x\ge2{,}5.
c. O vértice é \bigl(\tfrac{7}{4},\,\tfrac{9}{8}\bigr).
d. O contradomínio é \bigl(-\infty,\,\tfrac{9}{8}\bigr].

Exercícios relacionados