(2,0)Dada a função f(x)=5 x^3-3 x^5.
(a) (0,75) Determine os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo juntos! A gente tem a função $ f(x) = 5x^3 - 3x^5 $. Nosso objetivo é encontrar onde essa função está crescendo ou diminuindo, além de identificar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos usar derivadas, que ajudam a gente a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ muda quando $ x $ muda. Para isso, aplicamos as regras de derivação:
f(x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = 15x^2 - 15x^4 $, vamos igualá-la a zero para encontrar os possíveis pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos:
f'(x) = 15x^2 - 15x^4
Isso nos dá as soluções $ x = 0 $ e $ x = \pm1 $.

Passo 4

Com os pontos críticos $ x = -1, 0, 1 $, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos:
  1. Intervalo $ x < -1 $:
    Escolha $ x = -2 $:
    x = -1, 0, 1
    A função está decrescendo.
  2. Intervalo $ -1 < x < 0 $:
    Escolha $ x = -0.5 $:
    x < -1
    A função está crescendo.
  3. Intervalo $ 0 < x < 1 $:
    Escolha $ x = 0.5 $:
    x = -2
    A função está crescendo.
  4. Intervalo $ x > 1 $:
    Escolha $ x = 2 $:
    f'(-2) = 15(-2)^2 - 15(-2)^4 = 60 - 240 = -180 (Negativo)
    A função está decrescendo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos utilizando os pontos críticos e a análise de crescimento:
  • Em $ x = -1 $:
    A função muda de decrescente para crescente, então mínimo relativo.
  • Em $ x = 0 $:
    A derivada passa de positiva para positiva, sem mudança no comportamento, então nenhum extremo.
  • Em $ x = 1 $:
    A função muda de crescente para decrescente, então máximo relativo.

Resposta

A função $ f(x) = 5x^3 - 3x^5 $ está:
  • Crescente nos intervalos $ (-1, 0) $ e $ (0, 1) $.
  • Decrescente nos intervalos $ (-\infty, -1) $ e $ (1, +\infty) $.
Temos:
  • Mínimo relativo em $ x = -1 $.
  • Máximo relativo em $ x = 1 $.

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