Dada a função
.
(a)
Determine os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo juntos! A gente tem a função $ f(x) = 5x^3 - 3x^5 $. Nosso objetivo é encontrar onde essa função está crescendo ou diminuindo, além de identificar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos usar derivadas, que ajudam a gente a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ muda quando $ x $ muda. Para isso, aplicamos as regras de derivação:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = 15x^2 - 15x^4 $, vamos igualá-la a zero para encontrar os possíveis pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos:
Isso nos dá as soluções $ x = 0 $ e $ x = \pm1 $.
Passo 4
Com os pontos críticos $ x = -1, 0, 1 $, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos:
-
Intervalo $ x < -1 $:
Escolha $ x = -2 $:A função está decrescendo. -
Intervalo $ -1 < x < 0 $:
Escolha $ x = -0.5 $:A função está crescendo. -
Intervalo $ 0 < x < 1 $:
Escolha $ x = 0.5 $:A função está crescendo. -
Intervalo $ x > 1 $:
Escolha $ x = 2 $:A função está decrescendo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos utilizando os pontos críticos e a análise de crescimento:
-
Em $ x = -1 $:
A função muda de decrescente para crescente, então mínimo relativo. -
Em $ x = 0 $:
A derivada passa de positiva para positiva, sem mudança no comportamento, então nenhum extremo. -
Em $ x = 1 $:
A função muda de crescente para decrescente, então máximo relativo.
Resposta
A função $ f(x) = 5x^3 - 3x^5 $ está:
- Crescente nos intervalos $ (-1, 0) $ e $ (0, 1) $.
- Decrescente nos intervalos $ (-\infty, -1) $ e $ (1, +\infty) $.
Temos:
- Mínimo relativo em $ x = -1 $.
- Máximo relativo em $ x = 1 $.