Determine a solução geral da EDO abaixo e também a solução do PVI. y^prime prime-3 y^prime+2 y=0, condições iniciais y(0)=2 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y''-3y'+2y=0 e a solução do PVI com y(0)=2 e y'(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar usar a equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^2 - 3r + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica, fatoramos:
r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2) = 0
Logo, as raízes são r1 = 1 e r2 = 2.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^t + C2 e^2t
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 5

Para o PVI, calculamos
y(0) = C1 + C2 = 2
y'(t) = C1 e^t + 2C2 e^2t
y'(0) = C1 + 2C2 = 0.
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2 C1 + 2C2 = 0
obtém-se C2 = -2 e C1 = 4.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, a solução do PVI é
y(t) = 4e^t - 2e^2t.

Resposta

A solução geral é y(t)=C1e^t+C2e^2t e a solução do PVI é y(t)=4e^t-2e^2t.

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