Considere a função abaixo: f(x, y, z)=3 e^2 x z sen(pi x y)
Determine a derivada direcional na direção do vetor u=i-2 j+2 k no ponto P0.

Passo 1

A função é f(x,y,z)=3e^2xzsin(pi xy) e a gente quer a derivada direcional em relação ao vetor u=i-2j+2k no ponto P0=(x0,y0,z0). O conteúdo é derivada direcional, que usa o gradiente de f e o vetor unitário na direção de u.

Passo 2

Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=6z,e^2xzsin(pi xy)+3pi y,e^2xzcos(pi xy)
partial fpartial y=3pi x,e^2xzcos(pi xy)
partial fpartial z=6x,e^2xzsin(pi xy)

Passo 3

Agora obtemos o vetor unitário hat u. A norma de u=(1,-2,2) é |u|=raiz1+(-2)^2+2^2=3, logo:
hat u=13(1,-2,2)

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente avaliado em P0 e hat u:
Duf(P0)=nabla f(P0)cdothat u=igl(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)P0cdot13(1,-2,2) 

Passo 5

Fazendo o produto escalar e agrupando os termos de sin(pi x0y0) e cos(pi x0y0), chega-se a:
Duf(P0)=2(z0+2x0)e^2x0z0sin(pi x0y0)+pi(y0-2x0)e^2x0z0cos(pi x0y0)

Resposta

D_{\mathbf{u}}f(P_0)=2(z_0+2x_0)e^{2x_0z_0}\sin(\pi x_0y_0)+\pi(y_0-2x_0)e^{2x_0z_0}\cos(\pi x_0y_0).

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