Dada a função f(x)=5^{x}, calcule:
c) \frac{f\left(\frac{1}{2}\right) \cdot f(1)}{f(2)}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=5^{x} e pede para calcular a expressão
\frac{f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot f(1)}{f(2)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=5^{x}.
  • As avaliações necessárias são em x=\tfrac{1}{2}, x=1 e x=2.
  • O objetivo é simplificar a expressão indicada.

Passo 2

Avaliar f nos pontos pedidos, substituindo x na definição f(x)=5^{x}:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=5^{\tfrac{1}{2}}, \qquad f(1)=5^{1}, \qquad f(2)=5^{2}.
Observação rápida: 5^{\tfrac{1}{2}} é a raiz quadrada de 5, isto é, 5^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{5}.

Passo 3

Lembremos duas regras fundamentais de potências com mesma base a>0 e expoentes u,v:
a^{u}\cdot a^{v}=a^{u+v}, \qquad \frac{a^{u}}{a^{v}}=a^{u-v}.
Aqui a é a base (no nosso caso a=5) e u,v são expoentes (números racionais ou reais). Essas fórmulas dizem que ao multiplicar potências de mesma base somamos os expoentes; ao dividir subtraímos os expoentes.

Passo 4

Substituir os valores de f na expressão e usar a regra das potências:
\frac{f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot f(1)}{f(2)} = \frac{5^{\tfrac{1}{2}}\cdot 5^{1}}{5^{2}} = \frac{5^{\tfrac{1}{2}+1}}{5^{2}}.

Passo 5

Aplicar a regra da divisão de potências (subtrair expoentes) e simplificar a soma dos expoentes:
\frac{5^{\tfrac{1}{2}+1}}{5^{2}}=5^{\tfrac{1}{2}+1-2}.
Calcular o valor do expoente:
\tfrac{1}{2}+1-2=\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{2}-\tfrac{4}{2}=\tfrac{1+2-4}{2}=\tfrac{-1}{2}.
Portanto a expressão fica 5^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 6

Interpretar o expoente negativo e a fração no expoente:
5^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{5^{\tfrac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
porque a^{-r}=1/a^{r} e a^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{a}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{5}}

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