- Dada a função
, mostre que ela possui exatamente uma raiz real.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela tem exatamente uma raiz real.
Conteúdo: teorema do valor intermediário (para existência de raiz) e monotonicidade via derivada (para unicidade).
Conteúdo: teorema do valor intermediário (para existência de raiz) e monotonicidade via derivada (para unicidade).
Passo 2
Mostramos existência de pelo menos uma raiz usando o teorema do valor intermediário. Primeiro notamos que
é contínua em
(soma de função polinomial e cosseno). Em seguida, calculamos
Como
e
têm sinais opostos, pelo teorema do valor intermediário existe
tal que
Passo 3
Agora provamos que essa raiz é única. Como
é derivável em
, calculemos
Como
, segue
logo
é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz real, que está no intervalo
.