1. Dada a função f(x)=2 x-1-cos x, mostre que ela possui exatamente uma raiz real.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x-1-cos x
e pede para mostrar que ela tem exatamente uma raiz real.
Conteúdo: teorema do valor intermediário (para existência de raiz) e monotonicidade via derivada (para unicidade).

Passo 2

Mostramos existência de pelo menos uma raiz usando o teorema do valor intermediário. Primeiro notamos que f é contínua em R (soma de função polinomial e cosseno). Em seguida, calculamos
f(0)=2cdot0-1-cos0=-1-1=-2<0,
f(1)=2cdot1-1-cos1=1-cos1approx1-0,54=0,46>0
Como f(0) e f(1) têm sinais opostos, pelo teorema do valor intermediário existe cin(0,1) tal que
f(c)=0

Passo 3

Agora provamos que essa raiz é única. Como f é derivável em R, calculemos
f'(x)=2+sin x
Como -1<=sin x<=1, segue
f'(x)>=2-1=1>0forall xinR,
logo f é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz.

Resposta

A função f(x)=2x-1-cos x tem exatamente uma raiz real, que está no intervalo (0,1).

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