Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas a respeito da função
Vou listar claramente o que é pedido:
- Determinar assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas (se existirem).
- Encontrar os valores críticos de primeira ordem (onde
ou não existe). - Encontrar os valores críticos de segunda ordem (onde
ou não existe). - Identificar extremos relativos e absolutos (mínimos/máximos).
- Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
- Encontrar pontos de inflexão e intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo).
- Esboçar o gráfico indicando os interceptos com os eixos
e .
Informações dadas:
- A função explícita é
. - Não há figura ou tabela adicional: tudo será feito analiticamente.
Passo 2
Domínio e assíntotas — começo pelo básico porque isso orienta o gráfico.
Domínio:
é um polinômio (produto de polinômios). Polinômios são definidos para todo
, então o domínio é
Assíntotas:
- Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a
numa aproximação a algum ponto finito (normalmente em ramos de funções racionais com denominação zero). Aqui não há denominador que zere; é polinomial, logo não há assíntotas verticais. - Assíntotas horizontais ocorrem quando
é finito. Para polinômios de grau esse limite é , portanto não há assíntota horizontal. - Assíntotas inclinadas (linhas
) aparecem normalmente para funções racionais cujo grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador; no caso de polinômios de grau a diferença em relação a qualquer reta tende a infinito, então não consideramos assíntota inclinada linear aqui.
Conclusão: não há assíntotas verticais, horizontais nem inclinadas para
.
Passo 3
Interceptos com os eixos — pontos importantes para esboçar o gráfico.
Intercepto com o eixo
(valor em
):
logo o intercepto
é
.
Interceptos com o eixo
(raízes da função):
Resolver :
Resolver
Observação sobre multiplicidades: a raiz
tem multiplicidade
(porque fator
aparece uma vez) e
tem multiplicidade
(porque fator
aparece elevado a
). Como
e
são raízes, os interceptos
são
e
.
Comportamento nas raízes conforme multiplicidade:
- Multiplicidade ímpar (como
e ) implica que o gráfico atravessa o eixo nesses pontos (porém, multiplicidades ímpares maiores que causam “achatamento” ao atravessar). - Então em
e em o gráfico cruza o eixo ; em há cruzamento com achatamento (curvatura diferente).
Passo 4
Derivada primeira — como calcular e por que ela importa.
Regra usada: produto. Se
e
são funções, então
Aqui escolha
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
para simplificar:
Fator comum
:
Interpretação:
existe para todo
(é polinomial), e os zeros de
nos dão pontos críticos de primeira ordem:
isto é,
Além disso, não há pontos onde
não existe. Portanto os valores críticos de primeira ordem são
e
.
Passo 5
Classificação por primeiro derivado — sinais e intervalos de monotonia.
Para estudar crescimento/decrescimento usamos o sinal de
. Repare na forma fatorada
- O fator
é positivo sempre. - O fator
é sempre não negativo e só zera em ; por ser quadrado, ele é \emph{sempre} não negativo e não muda de sinal ao passar por . - Assim o sinal de
é dado pelo sinal de .
Logo:
- Se
(isto é, ) então → decrescente. - Se
(isto é, ) então → crescente.
Observações sobre os pontos críticos:
- Em
o sinal de muda de negativo para positivo (decrecente → crescente). Isso indica um mínimo relativo em . - Em
temos mas, por causa do fator quadrado, o sinal de não muda ao passar por (o sinal é determinado por ). Portanto em não há extremum (não é nem mínimo nem máximo relativo) — é um ponto crítico de tipo “ponto de tangência horizontal” ou “ponto estacionário sem troca de monotonia”.
Intervalos de monotonia:
-
é decrescente em . -
é crescente em .
Valor do mínimo relativo: calcular
.
Então há um mínimo relativo em
.
Passo 6
Derivada segunda — fórmula, cálculo e interpretação (concavidade e pontos de inflexão).
Vamos derivar
. Use produto/linha similar ao passo anterior. Uma maneira limpa é fatorar e aplicar regra do produto duas vezes; eu faço direto:
Começo por derivar
e depois multiplicar por
. Derivada de
:
Multiplicando por
(porque
):
Fatorando
:
Simplificando
:
Zeros e pontos onde
não existe:
-
quando ou . -
existe para todo (é polinomial).
Esses são candidatos a pontos de inflexão; para confirmar, verificamos mudança de sinal de
.
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão — análise de sinais do
.
Estudamos o sinal de
O
é positivo, então o sinal vem do produto
.
Intervalos em que testamos os sinais (pontos críticos de
são
e
):
- Para
(por exemplo ): e → produto . Logo → concavidade para cima. - Para
(por exemplo ): , → produto . Logo → concavidade para baixo. - Para
(por exemplo ): ambos fatores → produto . Logo → concavidade para cima.
Portanto:
- Concavidade para cima em
e em . - Concavidade para baixo em
.
Pontos de inflexão (onde concavidade muda de sinal):
-
e . Valores correspondentes:
Observação interessante: em
temos simultaneamente
(ponto crítico) e
com mudança de concavidade — isto é, um ponto de inflexão com tangente horizontal.
Passo 8
Extremos absolutos e comportamento global — comparar valores críticos.
Já vimos que
é decrescente em
e crescente em
. Então
é um mínimo relativo. Como
é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo (expandindo rapidamente:
), temos
Portanto existe um mínimo absoluto (global). Entre os pontos críticos e limites, o menor valor observado é
. Logo esse mínimo relativo é também o mínimo absoluto.
Não existe máximo absoluto porque
quando
.
Também confirmei que em
não há extremum (não muda monotonia), e em
não é ponto crítico (
).
Resumo:
- Mínimo relativo e absoluto em
com valor . - Sem máximo relativo nem absoluto.
Passo 9
Resumo do comportamento e esboço mental do gráfico (instruções para desenhar).
Dados importantes para o esboço:
- Zeros/Interceptos:
(multiplicidade , cruza com achatamento) e (multiplicidade , cruza normalmente). - Intercepto
: (já listado). - Crescimento/Decrescimento:
- Decrescente em
. - Crescente em
.
- Decrescente em
- Extremo: mínimo absoluto em
. - Concavidade:
- Côncavo para cima em
e em . - Côncavo para baixo em
.
- Côncavo para cima em
- Pontos de inflexão:
e . - Comportamento nas infinites:
para (coeficiente líder positivo, grau ).
Como desenhar:
- Marque os pontos
, e . - Use que o gráfico vem de
quando , está côncavo para cima até , tem inflexão horizontal em , passa para côncavo para baixo até (outro inflexão), continua decrescente até atingir o mínimo em , então sobe indefinidamente com concavidade mudando para cima em . - Em
o cruzamento é com achatamento (derivada zero) e em cruza normalmente.
Isso é suficiente para um esboço qualitativo correto.
Resposta
Assíntotas: nenhuma (não há assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas).
Valores críticos de primeira ordem:
e
.
Valores críticos de segunda ordem (onde
):
e
.
Extremos:
- Mínimo relativo e absoluto em
. - Não há máximo relativo nem máximo absoluto.
Intervalos de crescimento/decrescimento:
- Decrescente em
. - Crescente em
.
Pontos de inflexão e concavidade:
- Pontos de inflexão:
e . - Concavidade para cima em
e em . - Concavidade para baixo em
.
Interceptos:
- Interceptos com o eixo
: e . - Intercepto com o eixo
: .