Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
f(x)=x(x+2)^{3}

Passo 1

O enunciado pede várias coisas a respeito da função
f(x)=x(x+2)^{3}.
Vou listar claramente o que é pedido:
  • Determinar assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas (se existirem).
  • Encontrar os valores críticos de primeira ordem (onde f'(x)=0 ou f' não existe).
  • Encontrar os valores críticos de segunda ordem (onde f''(x)=0 ou f'' não existe).
  • Identificar extremos relativos e absolutos (mínimos/máximos).
  • Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Encontrar pontos de inflexão e intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo).
  • Esboçar o gráfico indicando os interceptos com os eixos x e y.
Informações dadas:
  • A função explícita é f(x)=x(x+2)^{3}.
  • Não há figura ou tabela adicional: tudo será feito analiticamente.

Passo 2

Domínio e assíntotas — começo pelo básico porque isso orienta o gráfico.
Domínio: f(x) é um polinômio (produto de polinômios). Polinômios são definidos para todo x, então o domínio é
\text{dom }f = \mathbb{R}.
Assíntotas:
  • Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a \pm\infty numa aproximação a algum ponto finito (normalmente em ramos de funções racionais com denominação zero). Aqui não há denominador que zere; f é polinomial, logo não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais ocorrem quando \lim_{x\to\pm\infty} f(x) é finito. Para polinômios de grau \ge 1 esse limite é \pm\infty, portanto não há assíntota horizontal.
  • Assíntotas inclinadas (linhas y=mx+b) aparecem normalmente para funções racionais cujo grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador; no caso de polinômios de grau \ge 2 a diferença em relação a qualquer reta tende a infinito, então não consideramos assíntota inclinada linear aqui.
Conclusão: não há assíntotas verticais, horizontais nem inclinadas para f.

Passo 3

Interceptos com os eixos — pontos importantes para esboçar o gráfico.
Intercepto com o eixo y (valor em x=0):
f(0)=0\cdot(0+2)^{3}=0,
logo o intercepto y é (0,0).
Interceptos com o eixo x (raízes da função):
Resolver f(x)=0:
x(x+2)^{3}=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.
Observação sobre multiplicidades: a raiz x=0 tem multiplicidade 1 (porque fator x aparece uma vez) e x=-2 tem multiplicidade 3 (porque fator (x+2) aparece elevado a 3). Como 0 e -2 são raízes, os interceptos x são (0,0) e (-2,0).
Comportamento nas raízes conforme multiplicidade:
  • Multiplicidade ímpar (como 1 e 3) implica que o gráfico atravessa o eixo x nesses pontos (porém, multiplicidades ímpares maiores que 1 causam “achatamento” ao atravessar).
  • Então em x=0 e em x=-2 o gráfico cruza o eixo x; em x=-2 há cruzamento com achatamento (curvatura diferente).

Passo 4

Derivada primeira — como calcular e por que ela importa.
Regra usada: produto. Se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui escolha u(x)=x e v(x)=(x+2)^{3}. Então
u'(x)=1,\qquad v'(x)=3(x+2)^{2}\cdot 1 = 3(x+2)^{2}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=1\cdot (x+2)^{3} + x\cdot 3(x+2)^{2}.
Fatorando (x+2)^{2} para simplificar:
f'(x)=(x+2)^{2}\big[(x+2)+3x\big]=(x+2)^{2}(4x+2).
Fator comum 2:
f'(x)=2(x+2)^{2}(2x+1).
Interpretação: f'(x) existe para todo x (é polinomial), e os zeros de f' nos dão pontos críticos de primeira ordem:
f'(x)=0 \iff (x+2)^{2}=0 \text{ ou } 2x+1=0,
isto é,
x=-2 \quad(\text{multiplicidade }2),\qquad x=-\tfrac{1}{2}\quad(\text{multiplicidade }1).
Além disso, não há pontos onde f' não existe. Portanto os valores críticos de primeira ordem são x=-2 e x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Classificação por primeiro derivado — sinais e intervalos de monotonia.
Para estudar crescimento/decrescimento usamos o sinal de f'(x). Repare na forma fatorada
f'(x)=2(x+2)^{2}(2x+1).
  • O fator 2 é positivo sempre.
  • O fator (x+2)^{2} é sempre não negativo e só zera em x=-2; por ser quadrado, ele é \emph{sempre} não negativo e não muda de sinal ao passar por -2.
  • Assim o sinal de f'(x) é dado pelo sinal de (2x+1).
Logo:
  • Se 2x+1<0 (isto é, x<-\tfrac{1}{2}) então f'(x)<0 f decrescente.
  • Se 2x+1>0 (isto é, x>-\tfrac{1}{2}) então f'(x)>0 f crescente.
Observações sobre os pontos críticos:
  • Em x=-\tfrac{1}{2} o sinal de f' muda de negativo para positivo (decrecente → crescente). Isso indica um mínimo relativo em x=-\tfrac{1}{2}.
  • Em x=-2 temos f'=0 mas, por causa do fator quadrado, o sinal de f' não muda ao passar por -2 (o sinal é determinado por 2x+1). Portanto em x=-2 não há extremum (não é nem mínimo nem máximo relativo) — é um ponto crítico de tipo “ponto de tangência horizontal” ou “ponto estacionário sem troca de monotonia”.
Intervalos de monotonia:
  • f é decrescente em (-\infty, -\tfrac{1}{2}).
  • f é crescente em (-\tfrac{1}{2}, +\infty).
Valor do mínimo relativo: calcular f(-\tfrac{1}{2}).
f\!\big(-\tfrac{1}{2}\big) = -\tfrac{1}{2}\big(-\tfrac{1}{2}+2\big)^{3} = -\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{3}{2}\big)^{3} = -\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{27}{8} = -\tfrac{27}{16}.
Então há um mínimo relativo em \big(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{27}{16}\big).

Passo 6

Derivada segunda — fórmula, cálculo e interpretação (concavidade e pontos de inflexão).
Vamos derivar f'(x)=2(2x+1)(x+2)^{2}. Use produto/linha similar ao passo anterior. Uma maneira limpa é fatorar e aplicar regra do produto duas vezes; eu faço direto:
Começo por derivar g(x)=(2x+1)(x+2)^{2} e depois multiplicar por 2. Derivada de g:
g'(x)=2\cdot (x+2)^{2} + (2x+1)\cdot 2(x+2).
Multiplicando por 2 (porque f'(x)=2g(x)):
f''(x)=2g'(x)=2\big(2(x+2)^{2} + 2(2x+1)(x+2)\big).
Fatorando 4(x+2):
f''(x)=4(x+2)\big((x+2)+(2x+1)\big)=4(x+2)(3x+3).
Simplificando 3x+3=3(x+1):
f''(x)=12(x+2)(x+1).
Zeros e pontos onde f'' não existe:
  • f''(x)=0 quando x=-2 ou x=-1.
  • f'' existe para todo x (é polinomial).
Esses são candidatos a pontos de inflexão; para confirmar, verificamos mudança de sinal de f''.

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão — análise de sinais do f''.
Estudamos o sinal de
f''(x)=12(x+2)(x+1).
O 12 é positivo, então o sinal vem do produto (x+2)(x+1).
Intervalos em que testamos os sinais (pontos críticos de f'' são -2 e -1):
  • Para x<-2 (por exemplo x=-3): (x+2)<0 e (x+1)<0 → produto >0. Logo f''(x)>0 → concavidade para cima.
  • Para -2<x<-1 (por exemplo x=-1{,}5): (x+2)>0, (x+1)<0 → produto <0. Logo f''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Para x>-1 (por exemplo x=0): ambos fatores >0 → produto >0. Logo f''(x)>0 → concavidade para cima.
Portanto:
  • Concavidade para cima em (-\infty,-2) e em (-1,\infty).
  • Concavidade para baixo em (-2,-1).
Pontos de inflexão (onde concavidade muda de sinal):
  • x=-2 e x=-1. Valores correspondentes:
f(-2)= -2\cdot 0^{3}=0, \quad\text{logo ponto }(-2,0).
f(-1)= -1\cdot(1)^{3}=-1, \quad\text{logo ponto }(-1,-1).
Observação interessante: em x=-2 temos simultaneamente f'(-2)=0 (ponto crítico) e f''(-2)=0 com mudança de concavidade — isto é, um ponto de inflexão com tangente horizontal.

Passo 8

Extremos absolutos e comportamento global — comparar valores críticos.
Já vimos que f é decrescente em (-\infty,-\tfrac{1}{2}) e crescente em (-\tfrac{1}{2},\infty). Então x=-\tfrac{1}{2} é um mínimo relativo. Como f é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo (expandindo rapidamente: f(x)=x^4+6x^3+12x^2+8x), temos
\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty.
Portanto existe um mínimo absoluto (global). Entre os pontos críticos e limites, o menor valor observado é f(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{27}{16}. Logo esse mínimo relativo é também o mínimo absoluto.
Não existe máximo absoluto porque f(x)\to +\infty quando x\to\pm\infty.
Também confirmei que em x=-2 não há extremum (não muda monotonia), e em x=0 não é ponto crítico ( f'(0)=2(2)^2(1)=8\neq 0).
Resumo:
  • Mínimo relativo e absoluto em x=-\tfrac{1}{2} com valor f(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{27}{16}.
  • Sem máximo relativo nem absoluto.

Passo 9

Resumo do comportamento e esboço mental do gráfico (instruções para desenhar).
Dados importantes para o esboço:
  • Zeros/Interceptos: (-2,0) (multiplicidade 3, cruza com achatamento) e (0,0) (multiplicidade 1, cruza normalmente).
  • Intercepto y: (0,0) (já listado).
  • Crescimento/Decrescimento:
    • Decrescente em (-\infty,-\tfrac{1}{2}).
    • Crescente em (-\tfrac{1}{2},\infty).
  • Extremo: mínimo absoluto em \big(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{27}{16}\big).
  • Concavidade:
    • Côncavo para cima em (-\infty,-2) e em (-1,\infty).
    • Côncavo para baixo em (-2,-1).
  • Pontos de inflexão: (-2,0) e (-1,-1).
  • Comportamento nas infinites: f(x)\to +\infty para x\to\pm\infty (coeficiente líder positivo, grau 4).
Como desenhar:
  1. Marque os pontos (-2,0), (-1,-1) e (0,0).
  2. Use que o gráfico vem de +\infty quando x\to -\infty, está côncavo para cima até -2, tem inflexão horizontal em (-2,0), passa para côncavo para baixo até -1 (outro inflexão), continua decrescente até atingir o mínimo em -\tfrac{1}{2}, então sobe indefinidamente com concavidade mudando para cima em -1.
  3. Em -2 o cruzamento é com achatamento (derivada zero) e em 0 cruza normalmente.
Isso é suficiente para um esboço qualitativo correto.

Resposta

Assíntotas: nenhuma (não há assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas).
Valores críticos de primeira ordem: x=-2 e x=-\tfrac{1}{2}.
Valores críticos de segunda ordem (onde f''(x)=0): x=-2 e x=-1.
Extremos:
  • Mínimo relativo e absoluto em \displaystyle\big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{27}{16}\big).
  • Não há máximo relativo nem máximo absoluto.
Intervalos de crescimento/decrescimento:
  • Decrescente em \displaystyle(-\infty,-\tfrac{1}{2}).
  • Crescente em \displaystyle(-\tfrac{1}{2},+\infty).
Pontos de inflexão e concavidade:
  • Pontos de inflexão: (-2,0) e (-1,-1).
  • Concavidade para cima em (-\infty,-2) e em (-1,+\infty).
  • Concavidade para baixo em (-2,-1).
Interceptos:
  • Interceptos com o eixo x: (-2,0) e (0,0).
  • Intercepto com o eixo y: (0,0).

Exercícios relacionados