Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas: a função é . Não foi especificada a base do logaritmo no enunciado, portanto vou assumir — como é usual em Cálculo — que
significa logaritmo natural, ou seja
. Nenhuma outra informação foi dada.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos lembrar duas regras fundamentais que vamos usar (vou explicar cada uma com calma):
- Derivada do logaritmo natural. Se
, então a derivada é dada pela regra da cadeia:
Explicação:
é uma função básica cuja derivada em ponto
é
. Se
depende de
, aplicamos a regra da cadeia: derivada de
é derivada de
avaliada em
(que é
) vezes a derivada de
, que é
. Resultado:
.
- Derivada de uma potência polinomial simples. Se
com inteiro, então
Exemplo rápido: a derivada de
é
.
Passo 3
Escolha do método: existem duas maneiras simples e básicas de derivar
:
- Método A (usar propriedade dos logaritmos para simplificar antes):
. Depois derivar termo a termo. - Método B (usar diretamente a regra da cadeia para
com ).
Vou mostrar os dois métodos porque ambos são curtos e úteis na prova — o Método A usa propriedades algébricas do logaritmo; o Método B aplica diretamente a regra da cadeia. Os dois chegam ao mesmo resultado; ver isso te dá segurança na hora da prova.
Passo 4
Usamos a propriedade
e
. Aplicando a
:
Agora derivamos termo a termo. A derivada de
é
porque é constante. A derivada de
é
vezes a derivada de
. Sabemos que a derivada de
é
. Logo:
Passo 5
Defina
. Então
. Pela regra da cadeia para logaritmo:
Calculamos
. Como
, usamos a derivada de potência e a constante multiplicativa:
Substituindo em
:
Agora simplificamos a fração: divida numerador e denominador por
:
Resultado idêntico ao do Método A — bom sinal!
Passo 6
A expressão
só está definida para argumentos positivos:
. Como
, isso exige
, isto é
. Portanto o domínio de
(e onde a derivada acima vale) é
. A expressão
também só faz sentido real para
; combinando com o domínio do log temos
.