Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
f(x)=\log \left(2 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \,f(x)=\log\left(2x^{3}\right).
Informações dadas: a função é \,f(x)=\log\left(2x^{3}\right). Não foi especificada a base do logaritmo no enunciado, portanto vou assumir — como é usual em Cálculo — que \log significa logaritmo natural, ou seja \log=\ln. Nenhuma outra informação foi dada.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras fundamentais que vamos usar (vou explicar cada uma com calma):
  1. Derivada do logaritmo natural. Se \,g(x)=\ln(u(x)), então a derivada é dada pela regra da cadeia:
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação: \ln é uma função básica cuja derivada em ponto t é \dfrac{1}{t}. Se t=u(x) depende de x, aplicamos a regra da cadeia: derivada de \ln(u(x)) é derivada de \ln(t) avaliada em t=u(x) (que é 1/u(x)) vezes a derivada de u(x), que é u'(x). Resultado: u'(x)/u(x).
  1. Derivada de uma potência polinomial simples. Se \,u(x)=x^{n} com n inteiro, então
u'(x)=n x^{n-1}.
Exemplo rápido: a derivada de x^{3} é 3x^{2}.

Passo 3

Escolha do método: existem duas maneiras simples e básicas de derivar \ln(2x^{3}):
  • Método A (usar propriedade dos logaritmos para simplificar antes): \ln(2x^{3})=\ln 2 + \ln x^{3}=\ln 2 + 3\ln x. Depois derivar termo a termo.
  • Método B (usar diretamente a regra da cadeia para \ln(u(x)) com u(x)=2x^{3}).
Vou mostrar os dois métodos porque ambos são curtos e úteis na prova — o Método A usa propriedades algébricas do logaritmo; o Método B aplica diretamente a regra da cadeia. Os dois chegam ao mesmo resultado; ver isso te dá segurança na hora da prova.

Passo 4

Usamos a propriedade \ln(ab)=\ln a + \ln b e \ln(b^{c})=c\ln b. Aplicando a f(x)=\ln(2x^{3}):
f(x)=\ln 2 + \ln\left(x^{3}\right)=\ln 2 + 3\ln x.
Agora derivamos termo a termo. A derivada de \ln 2 é 0 porque é constante. A derivada de 3\ln x é 3 vezes a derivada de \ln x. Sabemos que a derivada de \ln x é 1/x. Logo:
f'(x)=0 + 3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}.

Passo 5

Defina u(x)=2x^{3}. Então f(x)=\ln(u(x)). Pela regra da cadeia para logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Calculamos u'(x). Como u(x)=2x^{3}, usamos a derivada de potência e a constante multiplicativa:
u'(x)=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
Substituindo em f'(x)=u'(x)/u(x):
f'(x)=\frac{6x^{2}}{2x^{3}}.
Agora simplificamos a fração: divida numerador e denominador por 2x^{2}:
f'(x)=\frac{6x^{2}}{2x^{3}}=\frac{6}{2}\cdot\frac{x^{2}}{x^{3}}=3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}.
Resultado idêntico ao do Método A — bom sinal!

Passo 6

A expressão \ln(2x^{3}) só está definida para argumentos positivos: 2x^{3}>0. Como 2>0, isso exige x^{3}>0, isto é x>0. Portanto o domínio de f (e onde a derivada acima vale) é x>0. A expressão f'(x)=3/x também só faz sentido real para x\neq 0; combinando com o domínio do log temos x>0.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3}{x},\quad x>0

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