Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
f(x)=\frac{\ln (x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}. Especificamente, devemos encontrar:
  • assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas (quando existirem);
  • valores críticos de primeira e segunda ordens;
  • extremos relativos e absolutos (se existirem);
  • intervalos de crescimento e de decrescimento;
  • pontos de inflexão e intervalos de concavidade;
  • interceptos com os eixos x e y;
  • um esboço do gráfico indicando essas informações.
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
  • a função é f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x};
  • implicitamente: o domínio natural ligado ao logaritmo (isto é, onde \ln(x) é definido) será importante.

Passo 2

Determinar o domínio e continuidade (isso é informação básica e necessária antes de tudo).
  • A função \ln(x) está definida apenas para x>0. Logo o domínio de f é (0,\infty).
  • Consequência prática: não há valores de f para x\le 0; todo o comportamento da função ocorre em x>0.

Passo 3

Assíntotas verticais e comportamento em x\to0^+. Definição rápida: temos uma assíntota vertical em x=a se a função tende a \pm\infty quando x\to a (pela direita ou esquerda) e a está fora do domínio ou é fronteira do domínio.
  • Avaliamos \displaystyle \lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln(x)}{x}.
    • Faça a substituição x=e^{-t} com t\to+\infty. Então \ln(x)=-t e x=e^{-t}, assim
    \frac{\ln(x)}{x} = \frac{-t}{e^{-t}} = -t e^{t} \xrightarrow[t\to\infty]{} -\infty.
    • Portanto \displaystyle \lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln(x)}{x}=-\infty.
  • Conclusão: existe assíntota vertical em x=0 (pelo lado direito do domínio), pois x=0 é fronteira do domínio e a função diverge para -\infty.

Passo 4

Assíntotas horizontais e inclinadas em x\to\infty. Definição rápida: se \lim_{x\to\infty} f(x)=L finito, então y=L é assíntota horizontal. Se o limite não existe mas f(x)- (ax+b)\to0 com a\neq0, há assíntota oblíqua.
  • Calcule \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}. Tanto o numerador quanto o denominador crescem, então aplicamos L’Hôpital (regra para \infty/\infty): \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{(d/dx)\ln(x)}{(d/dx)x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
  • Conclusão: existe assíntota horizontal y=0 quando x\to\infty.
  • Como o limite para +\infty é finito ( 0), não há assíntota inclinada.

Passo 5

Derivada primeira: teto técnico e cálculo (para achar crescimento/decrescimento e pontos críticos).
  • Usamos a forma f(x)=\ln(x)\cdot x^{-1} e a regra do produto ou a regra do quociente. Diferenciando,
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1} + \ln(x)\cdot(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}\big(1-\ln(x)\big).
  • Observação didática: x^{-2}>0 para todo x>0, então o sinal de f'(x) é o mesmo do fator 1-\ln(x).

Passo 6

Valores críticos de primeira ordem e monotonicidade (usar f'(x)).
  • Zeros de f': resolver 1-\ln(x)=0 \Rightarrow \ln(x)=1 \Rightarrow x=e.
  • Pontos onde f' não existe: apenas x=0, que não está no domínio; logo o único ponto crítico interno é x=e.
  • Análise de sinal de f':
    • Para 0<x<e: \ln(x)<1 então 1-\ln(x)>0 e f'(x)>0 f é crescente em (0,e).
    • Para x>e: \ln(x)>1 então 1-\ln(x)<0 e f'(x)<0 f é decrescente em (e,\infty).
  • Conclusão: em x=e a derivada muda de positiva para negativa, logo x=e é um ponto de máximo local. O valor da função é
f(e)=\frac{\ln(e)}{e}=\frac{1}{e}.

Passo 7

Derivada segunda: fórmula, interpretação e pontos candidatos a inflexão.
  • Diferenciando f'(x)=x^{-2}(1-\ln x), usando produto/derivação cuidadosa:
f''(x)=\frac{2\ln(x)-3}{x^3}.
  • Como x^3>0 para x>0, o sinal de f'' é o sinal de 2\ln(x)-3.
  • Zeros de f'': resolver 2\ln(x)-3=0 \Rightarrow \ln(x)=\tfrac{3}{2} \Rightarrow x=e^{3/2}.
  • Interpretação (teste da segunda derivada): em x=e temos f''(e)=\dfrac{2\cdot 1 -3}{e^3}=\dfrac{-1}{e^3}<0, confirmando que x=e é máximo local (concavidade para baixo ali).

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão (usar f'').
  • Para 0<x<e^{3/2}: \ln(x)<\tfrac{3}{2} então 2\ln(x)-3<0 e f''(x)<0 f é côncava para baixo em (0,e^{3/2}).
  • Para x>e^{3/2}: \ln(x)>\tfrac{3}{2} então 2\ln(x)-3>0 e f''(x)>0 f é côncava para cima em (e^{3/2},\infty).
  • Conclusão: x=e^{3/2} é ponto de inflexão. O valor da função aí é
f\big(e^{3/2}\big)=\frac{\ln\big(e^{3/2}\big)}{e^{3/2}}=\frac{3/2}{e^{3/2}}=\tfrac{3}{2}e^{-3/2}.

Passo 9

Extremos absolutos (comparar valores críticos com o comportamento nas fronteiras do domínio).
  • Como \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty (Passo 3) e \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0 (Passo 4), o valor f(e)=\tfrac{1}{e}>0 é maior do que todos os valores que a função atinge nos extremos do domínio.
  • Logo f(e)=\tfrac{1}{e} é máximo absoluto (maior valor da função em (0,\infty)).
  • Não existe mínimo absoluto, pois a função tende a -\infty quando x\to0^+; assim o ínfimo é -\infty e não há mínimo finito.

Passo 10

Interceptos com os eixos e indicação prática do esboço do gráfico.
  • Intercepto com o eixo x: resolver f(x)=0 \Rightarrow \ln(x)=0 \Rightarrow x=1. Então intercepto em x é (1,0).
  • Intercepto com o eixo y: requer x=0, mas x=0 não pertence ao domínio, logo não há intercepto com o eixo y.
  • Esboço do gráfico (descrição para desenhar): comece muito baixo (tende a -\infty) quando x vem de 0^+; a curva sobe, cruza o eixo x em (1,0); continua subindo até o máximo absoluto em \big(e,\tfrac{1}{e}\big); depois decresce, muda de concavidade em x=e^{3/2} (inflection), e aproxima-se de y=0 por cima quando x\to\infty. Indicar no desenho: assíntota vertical x=0, assíntota horizontal y=0 para x\to\infty, pontos (1,0), \big(e,\tfrac{1}{e}\big) e \big(e^{3/2},\tfrac{3}{2}e^{-3/2}\big).

Resposta

Assíntotas: vertical x=0; horizontal y=0 (quando x\to\infty); nenhuma assíntota inclinada.
Valores críticos de primeira ordem: x=e.
Valores críticos de segunda ordem: x=e^{3/2}.
Extremos: máximo relativo em x=e com f(e)=\dfrac{1}{e}; este é também máximo absoluto na (0,\infty). Não há mínimo absoluto (infimum -\infty).
Intervalos de crescimento: (0,e).
Intervalos de decrescimento: (e,\infty).
Ponto de inflexão: x=e^{3/2} com f\big(e^{3/2}\big)=\dfrac{3}{2}e^{-3/2}.
Intervalos de concavidade: côncava para baixo em \big(0,e^{3/2}\big); côncava para cima em \big(e^{3/2},\infty\big).
Interceptos: intercepto em x em (1,0); nenhum intercepto em y (pois x=0 não pertence ao domínio).
Esboço (descrição): diverge para -\infty quando x\to0^+; cresce até (e,1/e); decresce depois, muda de concavidade em x=e^{3/2} e aproxima-se de y=0 por cima quando x\to\infty.

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