Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy. f(x)=\frac{\ln (x)}{x}
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}. Especificamente, devemos encontrar:
assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas (quando existirem);
valores críticos de primeira e segunda ordens;
extremos relativos e absolutos (se existirem);
intervalos de crescimento e de decrescimento;
pontos de inflexão e intervalos de concavidade;
interceptos com os eixos x e y;
um esboço do gráfico indicando essas informações.
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
a função é f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x};
implicitamente: o domínio natural ligado ao logaritmo (isto é, onde \ln(x) é definido) será importante.
Passo 2
Determinar o domínio e continuidade (isso é informação básica e necessária antes de tudo).
A função \ln(x) está definida apenas para x>0. Logo o domínio de f é (0,\infty).
Consequência prática: não há valores de f para x\le 0; todo o comportamento da função ocorre em x>0.
Passo 3
Assíntotas verticais e comportamento em x\to0^+. Definição rápida: temos uma assíntota vertical em x=a se a função tende a \pm\infty quando x\to a (pela direita ou esquerda) e a está fora do domínio ou é fronteira do domínio.
Conclusão: existe assíntota vertical em x=0 (pelo lado direito do domínio), pois x=0 é fronteira do domínio e a função diverge para -\infty.
Passo 4
Assíntotas horizontais e inclinadas em x\to\infty. Definição rápida: se \lim_{x\to\infty} f(x)=L finito, então y=L é assíntota horizontal. Se o limite não existe mas f(x)- (ax+b)\to0 com a\neq0, há assíntota oblíqua.
Calcule \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}. Tanto o numerador quanto o denominador crescem, então aplicamos L’Hôpital (regra para \infty/\infty):\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{(d/dx)\ln(x)}{(d/dx)x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
Conclusão: existe assíntota horizontal y=0 quando x\to\infty.
Como o limite para +\infty é finito (0), não há assíntota inclinada.
Passo 5
Derivada primeira: teto técnico e cálculo (para achar crescimento/decrescimento e pontos críticos).
Usamos a forma f(x)=\ln(x)\cdot x^{-1} e a regra do produto ou a regra do quociente. Diferenciando,
Como x^3>0 para x>0, o sinal de f'' é o sinal de 2\ln(x)-3.
Zeros de f'': resolver 2\ln(x)-3=0 \Rightarrow \ln(x)=\tfrac{3}{2} \Rightarrow x=e^{3/2}.
Interpretação (teste da segunda derivada): em x=e temos f''(e)=\dfrac{2\cdot 1 -3}{e^3}=\dfrac{-1}{e^3}<0, confirmando que x=e é máximo local (concavidade para baixo ali).
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão (usar f'').
Para 0<x<e^{3/2}: \ln(x)<\tfrac{3}{2} então 2\ln(x)-3<0 e f''(x)<0 → f é côncava para baixo em (0,e^{3/2}).
Para x>e^{3/2}: \ln(x)>\tfrac{3}{2} então 2\ln(x)-3>0 e f''(x)>0 → f é côncava para cima em (e^{3/2},\infty).
Conclusão: x=e^{3/2} é ponto de inflexão. O valor da função aí é
Extremos absolutos (comparar valores críticos com o comportamento nas fronteiras do domínio).
Como \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty (Passo 3) e \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0 (Passo 4), o valor f(e)=\tfrac{1}{e}>0 é maior do que todos os valores que a função atinge nos extremos do domínio.
Logo f(e)=\tfrac{1}{e} é máximo absoluto (maior valor da função em (0,\infty)).
Não existe mínimo absoluto, pois a função tende a -\infty quando x\to0^+; assim o ínfimo é -\infty e não há mínimo finito.
Passo 10
Interceptos com os eixos e indicação prática do esboço do gráfico.
Intercepto com o eixo x: resolver f(x)=0 \Rightarrow \ln(x)=0 \Rightarrow x=1. Então intercepto em x é (1,0).
Intercepto com o eixo y: requer x=0, mas x=0 não pertence ao domínio, logo não há intercepto com o eixo y.
Esboço do gráfico (descrição para desenhar): comece muito baixo (tende a -\infty) quando x vem de 0^+; a curva sobe, cruza o eixo x em (1,0); continua subindo até o máximo absoluto em \big(e,\tfrac{1}{e}\big); depois decresce, muda de concavidade em x=e^{3/2} (inflection), e aproxima-se de y=0 por cima quando x\to\infty. Indicar no desenho: assíntota vertical x=0, assíntota horizontal y=0 para x\to\infty, pontos (1,0), \big(e,\tfrac{1}{e}\big) e \big(e^{3/2},\tfrac{3}{2}e^{-3/2}\big).
Resposta
Assíntotas: vertical x=0; horizontal y=0 (quando x\to\infty); nenhuma assíntota inclinada.
Valores críticos de primeira ordem: x=e.
Valores críticos de segunda ordem: x=e^{3/2}.
Extremos: máximo relativo em x=e com f(e)=\dfrac{1}{e}; este é também máximo absoluto na (0,\infty). Não há mínimo absoluto (infimum -\infty).
Intervalos de crescimento: (0,e).
Intervalos de decrescimento: (e,\infty).
Ponto de inflexão: x=e^{3/2} com f\big(e^{3/2}\big)=\dfrac{3}{2}e^{-3/2}.
Intervalos de concavidade: côncava para baixo em \big(0,e^{3/2}\big); côncava para cima em \big(e^{3/2},\infty\big).
Interceptos: intercepto em x em (1,0); nenhum intercepto em y (pois x=0 não pertence ao domínio).
Esboço (descrição): diverge para -\infty quando x\to0^+; cresce até (e,1/e); decresce depois, muda de concavidade em x=e^{3/2} e aproxima-se de y=0 por cima quando x\to\infty.