Dada a função
, determine ou faça o que se pede: (b) Os pontos de máximos e de mínimos do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos onde o gráfico dessa função tem máximos e mínimos. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, que nos ajuda a entender como uma função se comporta, tipo onde ela sobe, desce, e onde tem esses pontos altos (máximos) e baixos (mínimos).
Passo 2
Primeiro, pra achar os pontos de máximos e mínimos, a gente precisa encontrar a derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da tangente no ponto x, ou seja, como a função está mudando naquele ponto.
Então, vamos derivar
:
Passo 3
Agora, pra encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), a gente iguala a derivada a zero e resolve para x:
Podemos fatorar:
Então, temos:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, pra saber se cada um desses pontos é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a concavidade da função é pra cima ou pra baixo naquele ponto.
Vamos derivar novamente:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, o gráfico é côncavo pra cima nesse ponto, então temos um mínimo em
.
- Para
:
Como
, o gráfico é côncavo pra baixo nesse ponto, então temos um máximo em
.
- Para
:
Como
, o gráfico é côncavo pra cima nesse ponto, então temos um mínimo em
.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
são:
- Máximo em
- Mínimos em
e