1. Dada a função f(x)=\frac{3-\sqrt{x+1}}{x-8}, determine o domínio de f. É possível definir f(8) para que f seja contínua em x_{0}=8 ?
  2. Determine o conjunto de pontos de descontinuidade das seguintes funções. Redefine-as modificando somente esses pontos), se for possível, para que virem contínuas:

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos a função
f(x)=\frac{3-\sqrt{x+1}}{x-8}.
Precisamos (i) determinar o domínio de f e (ii) investigar se existe uma forma de definir f(8) para que f seja contínua em x_0=8. Vamos usar as condições de existência da raiz quadrada e de não anular o denominador, e depois calcular o limite em x\to8 por técnica de racionalização.

Passo 2

Determinar o domínio de f
  1. O radicando deve satisfazer x+1\ge0, ou seja
x\ge -1.
  1. O denominador não pode ser zero, logo x\neq 8. Portanto o domínio é
\mathcal{D} = \{x\mid x\ge -1\}\setminus\{8\} =\bigl[-1,\infty\bigr)\setminus\{8\}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to8}f(x) por racionalização
Como direto dá forma 0/0, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 3+\sqrt{x+1}:
f(x) =\frac{3-\sqrt{x+1}}{x-8} \cdot\frac{3+\sqrt{x+1}}{3+\sqrt{x+1}} =\frac{9-(x+1)}{(x-8)\,(3+\sqrt{x+1})} =\frac{8-x}{(x-8)\,(3+\sqrt{x+1})}.
Note que 8-x=-(x-8), logo
f(x) =-\frac{x-8}{(x-8)\,(3+\sqrt{x+1})} =-\frac{1}{3+\sqrt{x+1}},
válido para x\neq8. Tomando limite em x\to8:
\lim_{x\to8}f(x) =-\frac{1}{3+\sqrt{8+1}} =-\frac{1}{3+3} =-\frac{1}{6}.

Passo 4

Resposta à continuidade em x=8
O limite em x\to8 existe e vale -\tfrac16. Logo, se definirmos
f(8)=-\frac{1}{6},
a função fica contínua em x_{0}=8.

Passo 5

Impossibilidade de resolver a parte 2
O enunciado da parte 2 não fornece as expressões das funções cujos pontos de descontinuidade devem ser identificados e redefinidos. Sem essas definições, não é possível realizar a análise pedida.

Resposta

  1. O domínio é \bigl[-1,\infty\bigr)\setminus\{8\}. É possível definir f(8)=-\tfrac16 para que f seja contínua em x_{0}=8.
  2. Não há como resolver, pois as funções não foram especificadas.

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