1. Seja g(x)=\operatorname{sgn}(\operatorname{sen} x)
    (a) Determine cada um dos seguintes limites ou explique por que ele não existe.
    (i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)
    (ii) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)
    (iii) \lim _{x \rightarrow 0} g(x)
    (iv) \lim _{x \rightarrow \pi^{-}} g(x)
    (v) \lim _{x \rightarrow \pi^{-}} g(x)
    (vi) \lim _{x \rightarrow \pi} g(x)
    (b) Para quais valores de a \circ \lim _{x \rightarrow a} g(x) existe?

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\operatorname{sgn}(\sin x)
onde
\operatorname{sgn}(y)= \begin{cases} 1,&y>0,\\\\ 0,&y=0,\\\\ -1,&y<0. \end{cases}
Para avaliar \lims de g, precisamos saber o sinal de \sin x em volta dos pontos pedidos.

Passo 2

Para x\to0^+ temos x\in(0,\pi) suficientemente pequeno, logo \sin x>0 e
g(x)=1.
Portanto
\lim_{x\to0^+}g(x)=1.
Para x\to0^- temos x\in(-\pi,0) suficientemente perto de zero, logo \sin x<0 e
g(x)=-1.
Assim
\lim_{x\to0^-}g(x)=-1.

Passo 3

Como \lim_{x\to0^+}g(x)=1\neq-1=\lim_{x\to0^-}g(x), a \lim_{x\to0}g(x) não existe.

Passo 4

Para x\to\pi^- temos x\in(0,\pi), onde \sin x>0, logo
\lim_{x\to\pi^-}g(x)=1.
Para x\to\pi^+ temos x\in(\pi,2\pi) próximo de \pi, onde \sin x<0, logo
\lim_{x\to\pi^+}g(x)=-1.
Como os limites lateral esquerdo e direito em \pi são diferentes,
\lim_{x\to\pi}g(x)
não existe.

Passo 5

O limite \lim_{x\to a}g(x) existe exatamente quando em alguma vizinhança de a (excluindo a) o sinal de \sin x permanece constante, ou seja, \sin a\neq0. Portanto \lim_{x\to a}g(x) existe se, e somente se,
a\neq k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

(a)(i) 1
(a)(ii) -1
(a)(iii) não existe
(a)(iv) 1
(a)(v) -1
(a)(vi) não existe
(b) existe para todo a tal que a\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}.

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