1. Dada a função f(x)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}-9}}{\sqrt{x^{2}-3}} determina:
    a. O domínio.
    b. Os zeros da função.
    c. Analisa a paridade.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \frac{\sqrt[3]{x^{2}-9}}{\sqrt{x^{2}-3}}
e pede:
– o domínio (restrições dos radicais);
– os zeros (quando o numerador se anula e pertence ao domínio);
– a paridade (comparar f(-x) com f(x)).

Passo 2

Para achar o domínio, analisamos cada radical:
  1. No denominador temos \sqrt{x^{2}-3}, então x^{2}-3\ge0.
  2. No numerador temos \sqrt[3]{x^{2}-9}, mas raiz cúbica está definida para todo real, sem restrição.
    Logo, a única condição é
x^{2}-3\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le -\sqrt{3}\\ \text{ou}\\ x\ge\sqrt{3}.
Em notação de intervalos, o domínio é
(-\infty,-\sqrt{3}]\\ \cup\\ [\sqrt{3},\infty).

Passo 3

Os zeros são as soluções de \sqrt[3]{x^{2}-9}=0, isto é,
x^{2}-9=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm3.
Como 3 e -3 pertencem ao domínio \bigl((\pm3)^{2}=9\ge3\bigr), os zeros de f são
x=-3\quad\text{e}\quad x=3.

Passo 4

Para verificar a paridade, comparamos
f(-x) = \frac{\sqrt[3]{(-x)^{2}-9}}{\sqrt{(-x)^{2}-3}} = \frac{\sqrt[3]{x^{2}-9}}{\sqrt{x^{2}-3}} = f(x).
Além disso, o domínio é simétrico em relação a zero. Portanto, f é uma função par.

Resposta

a. \displaystyle (-\infty,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},\infty)
b. x=-3 e x=3
c. f é par, pois f(-x)=f(x).

Exercícios relacionados