Dada a função f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}, x \in \mathbb{R}, determine seus pontos críticos e todos os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}},\quad x\in\mathbb{R},
e pede (a) os pontos críticos, isto é, onde f'(x)=0 ou não existe, e (b) os pontos de inflexão, onde a concavidade muda (ou seja, onde f''(x)=0 com troca de sinal). Para isso, vamos calcular f'(x) e f''(x), resolver as equações correspondentes e checar a mudança de sinal.

Passo 2

Calculando a derivada primeira por quociente ou produto:
f'(x) =\frac{2x\,(1+x^{2})-x^{2}\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{2x+2x^{3}-2x^{3}}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Para f'(x)=0 basta 2x=0, logo x=0.
O denominador (1+x^{2})^{2} nunca zera em \mathbb{R}, então não há outros pontos críticos.

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x)=2x/(1+x^{2})^{2}:
  • Para x<0, f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para x>0, f'(x)>0 (função crescente).
    Logo em x=0 há uma troca de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local no ponto (0,f(0))=(0,0).

Passo 4

Agora a segunda derivada. Derivando f'(x)=2x\,(1+x^{2})^{-2} por produto:
f''(x) =2\,(1+x^{2})^{-2} +2x\bigl(-2\,(1+x^{2})^{-3}\cdot 2x\bigr) =\frac{2}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{8x^{2}}{(1+x^{2})^{3}} =\frac{2-6x^{2}}{(1+x^{2})^{3}} =\frac{2\,(1-3x^{2})}{(1+x^{2})^{3}}.
Para f''(x)=0 basta 1-3x^{2}=0, ou seja
x^{2}=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Checamos a concavidade nos intervalos:
  • Se \lvert x\rvert<1/\sqrt{3}, então 1-3x^{2}>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se \lvert x\rvert>1/\sqrt{3}, então 1-3x^{2}<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    Há, portanto, mudança de concavidade em x=\pm1/\sqrt{3}, o que confirma que esses são pontos de inflexão. O valor da função nesses pontos é
f\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\frac{\bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^{2}}{1+\bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^{2}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{1}{3}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}} =\frac{1}{4}.

Resposta

Ponto crítico: (0,0), que é mínimo local.
Pontos de inflexão: \bigl(1/\sqrt{3},\,1/4\bigr) e \bigl(-1/\sqrt{3},\,1/4\bigr).

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