Dada a função
, determine seus pontos críticos e todos os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) os pontos críticos, isto é, onde
ou não existe, e (b) os pontos de inflexão, onde a concavidade muda (ou seja, onde
com troca de sinal). Para isso, vamos calcular
e
, resolver as equações correspondentes e checar a mudança de sinal.
Passo 2
Calculando a derivada primeira por quociente ou produto:
Para
basta
, logo
O denominador nunca zera em
, então não há outros pontos críticos.
O denominador
Passo 3
Analisando o sinal de
:
- Para
, (função decrescente). - Para
, (função crescente).
Logo emhá uma troca de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local no ponto .
Passo 4
Agora a segunda derivada. Derivando
por produto:
Para
basta
, ou seja
Passo 5
Checamos a concavidade nos intervalos:
- Se
, então e (concavidade para cima). - Se
, então e (concavidade para baixo).
Há, portanto, mudança de concavidade em, o que confirma que esses são pontos de inflexão. O valor da função nesses pontos é
Resposta
Ponto crítico:
, que é mínimo local.
Pontos de inflexão:
e
.