Seja f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável até a ordem n em um intervalo I \subset D_{f} contendo um ponto x_{0}. O polinômio de Taylor, de ordem n, de f em torno do
ponto x_{0} \in I, é dado por
P(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n} .
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 5 das seguintes funções em torno do ponto dado.
f(x)=\operatorname{sen} x \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 de f(x)=\operatorname{sen} x em torno de x_{0}=0.
O conteúdo envolvido é a série de Taylor, para a qual precisamos das derivadas de f até a quinta ordem avaliadas em 0.

Passo 2

Calculemos as derivadas de f(x)=\operatorname{sen} x e seus valores em x=0:
\begin{aligned} f(x)&=\operatorname{sen} x, &f(0)&=0,\\\ f'(x)&=\cos x, &f'(0)&=1,\\\ f''(x)&=-\operatorname{sen} x, &f''(0)&=0,\\\ f^{(3)}(x)&=-\cos x, &f^{(3)}(0)&=-1,\\\ f^{(4)}(x)&=\operatorname{sen} x, &f^{(4)}(0)&=0,\\\ f^{(5)}(x)&=\cos x, &f^{(5)}(0)&=1. \end{aligned}

Passo 3

Substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de 0:
P_{5}(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} =0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^{2}+\frac{-1}{3!}x^{3}+\frac{0}{4!}x^{4}+\frac{1}{5!}x^{5}.
Portanto,
P_{5}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}.

Resposta

P_{5}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}

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