Dada a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Encontre a equação e faça um esboço do grafico da curva de nível de
que passa por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
- Determinar o domínio da função
e representá-lo graficamente. - Encontrar a equação e fazer um esboço do gráfico da curva de nível de
que passa pelo ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e curvas de nível. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está bem definida. No nosso caso, o denominador
não pode ser zero, pois não dá para dividir por zero. Além disso, para que a função seja real, o denominador também precisa ser positivo.
Então, temos que:
Vamos resolver essa inequação.
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para entender melhor:
Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
e centro na origem
.
Então, o domínio da função
são todos os pontos
que estão dentro desse círculo de raio 4. Graficamente, isso é representado pelo interior do círculo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a curva de nível de
que passa pelo ponto
.
Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante, digamos
. Então, temos:
Substituindo a função:
Vamos resolver para
:
Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem.
Agora, vamos encontrar o valor de
usando o ponto
:
Então,
.
Substituindo
na equação do círculo:
Portanto, a curva de nível é um círculo com raio
e centro na origem.
Resposta
- O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos que estão dentro do círculo de raio 4 centrado na origem, ou seja, . - A curva de nível que passa pelo ponto
é o círculo de equação com raio e centro na origem.