Dada a função f(x, y) = 1 / (16 - x^2 - y^2).
  1. Determine o domínio e represente-o graficamente;
  2. Encontre a equação e faça um esboço do grafico da curva de nível de f que passa por P = (2*raiz(2), raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
  1. Determinar o domínio da função e representá-lo graficamente.
  2. Encontrar a equação e fazer um esboço do gráfico da curva de nível de que passa pelo ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e curvas de nível. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está bem definida. No nosso caso, o denominador não pode ser zero, pois não dá para dividir por zero. Além disso, para que a função seja real, o denominador também precisa ser positivo.
Então, temos que:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 3

Vamos rearranjar a inequação para entender melhor:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio e centro na origem .
Então, o domínio da função são todos os pontos que estão dentro desse círculo de raio 4. Graficamente, isso é representado pelo interior do círculo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a curva de nível de que passa pelo ponto .
Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, digamos . Então, temos:
Substituindo a função:
Vamos resolver para :
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem.
Agora, vamos encontrar o valor de usando o ponto :
Então, .
Substituindo na equação do círculo:
Portanto, a curva de nível é um círculo com raio e centro na origem.

Resposta

  1. O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que estão dentro do círculo de raio 4 centrado na origem, ou seja, .
  2. A curva de nível que passa pelo ponto é o círculo de equação com raio e centro na origem.

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