Dada a função f(x, y)=\frac{1}{x}-y, determine:
A) O plano tangente no ponto (1,1);
B) O vetor gradiente e a curva de nível ( \mathbf{k}=\mathbf{0} );
C) A interpretação gráfica do vetor gradiente no ponto (1, 1).

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=\frac{1}{x}-y\, e pede três coisas:
  1. A) O plano tangente no ponto (1,1).
  2. B) O vetor gradiente de f e a curva de nível correspondente a \,k=0.
  3. C) A interpretação gráfica do vetor gradiente no ponto (1,1).
    Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de \,f(x,y)\, e o ponto (1,1).

Passo 2

Vamos preparar as ferramentas: para uma função \,z=f(x,y)\, o plano tangente em (x_0,y_0) é dado por
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicação didática: \,f_x e \,f_y são as derivadas parciais de f. Elas representam as inclinações da superfície z=f(x,y) quando variamos x mantendo y fixo e quando variamos y mantendo x fixo. O plano tangente é a aproximação linear (primeiro termo do polinômio de Taylor) da superfície perto do ponto.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \,f(x,y)=x^{-1}-y\,, mostrando cada passo:
  • Para \,f_x: derivada de \,x^{-1} em relação a \,x é -1\cdot x^{-2} e derivada de -y em relação a \,x é 0. Logo
f_x(x,y) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.
  • Para \,f_y: derivada de \,x^{-1} em relação a \,y é 0 e derivada de -y em relação a \,y é -1. Logo
f_y(x,y) = -1.
Agora avalio em (1,1):
f(1,1)=\frac{1}{1}-1=0,\qquad f_x(1,1)=-1,\qquad f_y(1,1)=-1.

Passo 4

Construir o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com os valores do Passo 3:
z = f(1,1) + f_x(1,1)(x-1) + f_y(1,1)(y-1).
Substituindo f(1,1)=0, f_x(1,1)=-1 e f_y(1,1)=-1 obtemos
z = 0 + (-1)(x-1) + (-1)(y-1).
Simplificando passo a passo:
z = -(x-1)-(y-1) = -x+1 -y+1 = 2 - x - y.
Portanto o plano tangente no ponto (1,1) é \,z=2-x-y\,. Observação prática para prova: calcule as parciais, avalie no ponto e coloque na fórmula linear — essa é a rotina.

Passo 5

Agora o vetor gradiente. Definição e cálculo:
  • Definição: o vetor gradiente de f é
\nabla f(x,y) = \big(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\big).
Isso significa que cada componente do gradiente é uma derivada parcial, ou seja, o gradiente reúne as inclinações nas direções dos eixos.
  • Aplicando as derivadas encontradas no Passo 3:
\boxed{\nabla f(x,y) = \left(-\frac{1}{x^2},\,-1\right).}
E em (1,1):
\boxed{\nabla f(1,1)=(-1,-1).}

Passo 6

Curva de nível para \,k=0. Definição e resolução:
  • Definição: curva de nível para constante \,k é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.
  • Para \,k=0 resolvemos
\frac{1}{x}-y = 0.
Isolando y obtemos
\boxed{y=\frac{1}{x}.}
Comentário didático: essa é uma hipérbole (ramo) no plano xy. Para a prova, mostre que você fez f(x,y)=0 e isolou y.

Passo 7

Interpretação gráfica do vetor gradiente em (1,1) com demonstração:
  1. Direção de máximo aumento: o gradiente \nabla f(1,1)=(-1,-1) aponta na direção em que f cresce mais rápido a partir de (1,1). Racionalização numérica rápida: se andarmos um pequeno passo (-h,-h) com h>0, o aumento aproximado de f é \nabla f(1,1)\cdot(-h,-h)=(-1,-1)\cdot(-h,-h)=2h>0, então mover-se nessa direção aumenta f.
  2. Perpendicularidade à curva de nível: vetores gradiente são sempre perpendiculares às curvas de nível. Para verificar, obtenha a direção tangente à curva y=1/x em x=1: a derivada é dy/dx=-1/x^2, em x=1 tem-se dy/dx=-1. Um vetor tangente é (1,-1). O produto escalar com o gradiente é
(-1,-1)\cdot(1,-1) = -1 + 1 = 0,
logo são ortogonais. Conclusão curta: \nabla f(1,1) aponta para o sentido de maior crescimento e é ortogonal à curva de nível y=1/x em (1,1).

Resposta

A) z=2-x-y
B) \nabla f(x,y)=\left(-\dfrac{1}{x^2},-1\right) e a curva de nível para k=0 é y=\dfrac{1}{x} (além disso \nabla f(1,1)=(-1,-1)).
C) \nabla f(1,1)=(-1,-1) indica a direção de máximo crescimento de f em (1,1) e é perpendicular à curva de nível y=\dfrac{1}{x} naquele ponto.

Exercícios relacionados