Dada a função
, determine:
A) O plano tangente no ponto (1,1);
B) O vetor gradiente e a curva de nível (
);
C) A interpretação gráfica do vetor gradiente no ponto (1, 1).
A) O plano tangente no ponto (1,1);
B) O vetor gradiente e a curva de nível (
C) A interpretação gráfica do vetor gradiente no ponto (1, 1).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- A) O plano tangente no ponto
. - B) O vetor gradiente de
e a curva de nível correspondente a . - C) A interpretação gráfica do vetor gradiente no ponto
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita dee o ponto .
Passo 2
Vamos preparar as ferramentas: para uma função
o plano tangente em
é dado por
Explicação didática:
e
são as derivadas parciais de
. Elas representam as inclinações da superfície
quando variamos
mantendo
fixo e quando variamos
mantendo
fixo. O plano tangente é a aproximação linear (primeiro termo do polinômio de Taylor) da superfície perto do ponto.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
, mostrando cada passo:
- Para
: derivada de em relação a é e derivada de em relação a é . Logo
- Para
: derivada de em relação a é e derivada de em relação a é . Logo
Agora avalio em
:
Passo 4
Construir o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com os valores do Passo 3:
Substituindo
,
e
obtemos
Simplificando passo a passo:
Portanto o plano tangente no ponto
é
. Observação prática para prova: calcule as parciais, avalie no ponto e coloque na fórmula linear — essa é a rotina.
Passo 5
Agora o vetor gradiente. Definição e cálculo:
- Definição: o vetor gradiente de
é
Isso significa que cada componente do gradiente é uma derivada parcial, ou seja, o gradiente reúne as inclinações nas direções dos eixos.
- Aplicando as derivadas encontradas no Passo 3:
E em
:
Passo 6
Curva de nível para
. Definição e resolução:
- Definição: curva de nível para constante
é o conjunto de pontos tais que . - Para
resolvemos
Isolando
obtemos
Comentário didático: essa é uma hipérbole (ramo) no plano
. Para a prova, mostre que você fez
e isolou
.
Passo 7
Interpretação gráfica do vetor gradiente em
com demonstração:
- Direção de máximo aumento: o gradiente
aponta na direção em que cresce mais rápido a partir de . Racionalização numérica rápida: se andarmos um pequeno passo com , o aumento aproximado de é , então mover-se nessa direção aumenta . - Perpendicularidade à curva de nível: vetores gradiente são sempre perpendiculares às curvas de nível. Para verificar, obtenha a direção tangente à curva
em : a derivada é , em tem-se . Um vetor tangente é . O produto escalar com o gradiente é
logo são ortogonais. Conclusão curta:
aponta para o sentido de maior crescimento e é ortogonal à curva de nível
em
.
Resposta
A)
B) e a curva de nível para
é
(além disso
).
C) indica a direção de máximo crescimento de
em
e é perpendicular à curva de nível
naquele ponto.
B)
C)