Resolva y_{n+1}=y_{n}+n+1, com y_{0}=0. A solução é \frac{n^{2}+n}{2}

Passo 1

O enunciado dá uma recorrência e uma condição inicial. As perguntas e as informações relevantes são:
  • Pergunta: determinar uma expressão fechada para a sequência \{y_n\} definida pela recorrência.
  • Informação 1: a recorrência é \;y_{n+1}=y_{n}+n+1\; para n\ge0.
  • Informação 2: a condição inicial é \;y_{0}=0\;.
    A resolução começa a seguir a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para ver um padrão (isso ajuda a “adivinhar” a forma fechada):
  • \;y_{0}=0\; (dado).
  • \;y_{1}=y_{0}+0+1=0+1=1\;.
  • \;y_{2}=y_{1}+1+1=1+2=3\;.
  • \;y_{3}=y_{2}+2+1=3+3=6\;.
  • \;y_{4}=y_{3}+3+1=6+4=10\;.
    Os valores ficam \;0,1,3,6,10,\dots\;. Isso sugere que \;y_{n}\; é a soma dos primeiros \;n\; inteiros: \;1+2+\cdots+n\;.

Passo 3

Agora vamos obter isso de forma rigorosa por iteração (somatório telescópico). Partindo da recorrência para k=0,1,\dots,n-1:
y_{k+1}=y_{k}+k+1.
Somando essas igualdades para k=0 até k=n-1 (somatória termo a termo) obtemos:
\sum_{k=0}^{n-1} y_{k+1} \;=\; \sum_{k=0}^{n-1} \bigl(y_{k}+k+1\bigr).
No lado esquerdo a soma telescopia porque \sum_{k=0}^{n-1} y_{k+1}=y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n} e no lado direito \sum_{k=0}^{n-1} y_{k}=y_{0}+y_{1}+\cdots+y_{n-1}. Ao cancelar os termos comuns y_{1},\dots,y_{n-1} sobra
y_{n}-y_{0}=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1).
Como \;y_{0}=0\;, temos
y_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1).

Passo 4

Vamos simplificar o somatório trocando o índice: se colocamos j=k+1 então, quando k=0 temos j=1 e quando k=n-1 temos j=n. Assim
y_{n}=\sum_{j=1}^{n} j.
Ou seja, \;y_{n}\; é a soma dos primeiros n inteiros positivos.

Passo 5

Agora precisamos de uma fórmula fechada para \sum_{j=1}^{n} j. Uma derivação clássica (truque de Gauss) é a seguinte: seja
S=\sum_{j=1}^{n} j = 1+2+3+\cdots+(n-1)+n.
Escrevendo a soma ao contrário e somando termo a termo:
S = 1+2+\cdots+n,
S = n+(n-1)+\cdots+1.
Somando as duas expressões obtemos 2S = (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1), com n parcelas iguais a n+1. Logo
2S = n(n+1).
Dividindo por 2,
S=\frac{n(n+1)}{2}.
Portanto
y_{n}=\frac{n(n+1)}{2}.

Passo 6

Para ficar totalmente seguro fazemos uma verificação por indução (mostrando que essa fórmula satisfaz a recorrência e a condição inicial).
  • Base: para n=0, a fórmula dá \;y_{0}=\frac{0\cdot(0+1)}{2}=0, que coincide com a condição inicial.
  • Passo indutivo: suponha que para algum n\ge0 valha \;y_{n}=\frac{n(n+1)}{2}. Então pela recorrência
y_{n+1}=y_{n}+n+1=\frac{n(n+1)}{2}+n+1.
Fazendo a soma em comum denominador:
y_{n+1}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2},
que é exatamente a fórmula com n substituído por n+1. Assim a fórmula vale para todo n por indução matemática.

Passo 7

Resumo intuitivo e incentivo: a solução aparece porque a recorrência adiciona a cada passo o próximo inteiro (n+1), então y_n acumula 1+2+\cdots+n. A soma dos primeiros n inteiros tem a forma \frac{n(n+1)}{2}. Você consegue usar esse raciocínio direto na prova sem calculadora — é só lembrar do truque de Gauss ou da soma em pares.

Resposta

\displaystyle \frac{n^{2}+n}{2}

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