Resolva
, com
. A solução é
Passo 1
O enunciado dá uma recorrência e uma condição inicial. As perguntas e as informações relevantes são:
- Pergunta: determinar uma expressão fechada para a sequência
definida pela recorrência. - Informação 1: a recorrência é
para . - Informação 2: a condição inicial é
.
A resolução começa a seguir a partir dessas informações.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para ver um padrão (isso ajuda a “adivinhar” a forma fechada):
-
(dado). -
. -
. -
. -
.
Os valores ficam. Isso sugere que é a soma dos primeiros inteiros: .
Passo 3
Agora vamos obter isso de forma rigorosa por iteração (somatório telescópico). Partindo da recorrência para
:
Somando essas igualdades para
até
(somatória termo a termo) obtemos:
No lado esquerdo a soma telescopia porque
e no lado direito
. Ao cancelar os termos comuns
sobra
Como
, temos
Passo 4
Vamos simplificar o somatório trocando o índice: se colocamos
então, quando
temos
e quando
temos
. Assim
Ou seja,
é a soma dos primeiros
inteiros positivos.
Passo 5
Agora precisamos de uma fórmula fechada para
. Uma derivação clássica (truque de Gauss) é a seguinte: seja
Escrevendo a soma ao contrário e somando termo a termo:
Somando as duas expressões obtemos
, com
parcelas iguais a
. Logo
Dividindo por
,
Portanto
Passo 6
Para ficar totalmente seguro fazemos uma verificação por indução (mostrando que essa fórmula satisfaz a recorrência e a condição inicial).
- Base: para
, a fórmula dá , que coincide com a condição inicial. - Passo indutivo: suponha que para algum
valha . Então pela recorrência
Fazendo a soma em comum denominador:
que é exatamente a fórmula com
substituído por
. Assim a fórmula vale para todo
por indução matemática.
Passo 7
Resumo intuitivo e incentivo: a solução aparece porque a recorrência adiciona a cada passo o próximo inteiro
, então
acumula
. A soma dos primeiros
inteiros tem a forma
. Você consegue usar esse raciocínio direto na prova sem calculadora — é só lembrar do truque de Gauss ou da soma em pares.