Calcule z^{-3}\left\{\frac{a^{2} z\left(z+a^{2}\right)}{\left(z+a^{2}\right)^{3}}\right\}. A solução é n^{2} a^{2 n}

Passo 1

Enunciado (como vou interpretar para chegar na solução indicada): calcular a expansão em séries e identificar os coeficientes de potências de z da expressão
z^{-3}\left\{\frac{a^{2}z\bigl(z+a^{2}\bigr)}{\bigl(z-a^{2}\bigr)^{3}}\right\}.
Observação importante: o enunciado original usou \bigl(z+a^{2}\bigr)^{3}, mas a solução fornecida \,n^{2}a^{2n}\, coincide com a identidade geradora que aparece quando o denominador é \bigl(z-a^{2}\bigr)^{3}. Para obter a resposta indicada, vou assumir que o denominador correto é \bigl(z-a^{2}\bigr)^{3}.
O que se pede (na minha interpretação): encontrar o coeficiente do termo z^{-n-3} na expansão em série da função dada (ou, equivalentemente, escrever a função como uma série em potências de z^{-1} e ler os coeficientes).

Passo 2

Simplificação algébrica da função antes de expandir. Escrevemos a função dada (com o sinal menos no denominador) e simplificamos fatores óbvios:
\frac{a^{2}z\bigl(z+a^{2}\bigr)}{\bigl(z-a^{2}\bigr)^{3}}.
Não há cancelamento direto entre numerador e denominador, então deixamos assim por enquanto. Vamos relacioná-la com uma série conhecida através de uma substituição conveniente.

Passo 3

Lembrar (e derivar) a identidade geradora bem conhecida para n^{2}. Começamos da série geométrica básica:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}\quad\text{para }|x|<1.
Diferenciando em relação a x e multiplicando por x obtemos a soma dos n x^{n}:
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}}.
Diferenciando novamente (ou usando manipulações algébricas) chegamos à soma dos n^{2}x^{n}. Uma maneira direta é observar que
\sum_{n=0}^{\infty} n^{2}x^{n} = x\frac{d}{dx}\!\left(\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}\right) = x\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{(1-x)^{2}}\right).
Calculando a derivada:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{(1-x)^{2}}\right) = \frac{(1-x)^{2} - x\cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^{4}} = \frac{1 - 2x + x^{2} + 2x - 2x^{2}}{(1-x)^{4}} = \frac{1 - x^{2}}{(1-x)^{4}}.
Multiplicando por x obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} n^{2}x^{n} = \frac{x(1 - x^{2})}{(1-x)^{4}}.
Essa forma pode ser rearranjada; é mais habitual usar a identidade equivalente (para começar a soma em n=1):
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}.
Ambas são equivalentes (diferenças de índice de somação), e a que vamos usar é
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}.

Passo 4

Fazemos a substituição x=\dfrac{a^{2}}{z} na identidade geradora. Com essa escolha,
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}\left(\frac{a^{2}}{z}\right)^{n} = \frac{\dfrac{a^{2}}{z}\bigl(1+\dfrac{a^{2}}{z}\bigr)}{\bigl(1-\dfrac{a^{2}}{z}\bigr)^{3}}.
Agora simplificamos o lado direito em termos de z e a. Calculamos passo a passo:
\frac{a^{2}}{z}\bigl(1+\frac{a^{2}}{z}\bigr) = \frac{a^{2}(z+a^{2})}{z^{2}},
e
\bigl(1-\frac{a^{2}}{z}\bigr)^{3} = \left(\frac{z-a^{2}}{z}\right)^{3} = \frac{(z-a^{2})^{3}}{z^{3}}.
Dividindo as duas expressões:
\frac{\dfrac{a^{2}(z+a^{2})}{z^{2}}}{\dfrac{(z-a^{2})^{3}}{z^{3}}} = \frac{a^{2}(z+a^{2})}{z^{2}} \cdot \frac{z^{3}}{(z-a^{2})^{3}} = \frac{a^{2}z(z+a^{2})}{(z-a^{2})^{3}}.
Portanto obtemos a igualdade útil
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}\left(\frac{a^{2}}{z}\right)^{n} = \frac{a^{2}z(z+a^{2})}{(z-a^{2})^{3}}.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por z^{-3} (como pede o enunciado) para conectar com a expressão solicitada:
z^{-3}\cdot\frac{a^{2}z(z+a^{2})}{(z-a^{2})^{3}} = z^{-3}\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}\left(\frac{a^{2}}{z}\right)^{n}.
No lado direito podemos recolher os fatores de z:
z^{-3}\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}\left(\frac{a^{2}}{z}\right)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} a^{2n} z^{-n-3}.
Assim a função dada já está escrita como série em potências de z^{-1}.

Passo 6

Leitura dos coeficientes: da igualdade
z^{-3}\left\{\frac{a^{2}z(z+a^{2})}{(z-a^{2})^{3}}\right\} = \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} a^{2n} z^{-n-3},
vemos que o coeficiente do termo z^{-n-3} na expansão é exatamente n^{2}a^{2n}. Ou, dito de outro modo, o termo correspondente na série é n^{2}a^{2n}z^{-n-3}.

Resposta

n^{2}a^{2n}

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