Calcule
. A solução é
Passo 1
Enunciado (como vou interpretar para chegar na solução indicada): calcular a expansão em séries e identificar os coeficientes de potências de
da expressão
Observação importante: o enunciado original usou
, mas a solução fornecida
coincide com a identidade geradora que aparece quando o denominador é
. Para obter a resposta indicada, vou assumir que o denominador correto é
.
O que se pede (na minha interpretação): encontrar o coeficiente do termo na expansão em série da função dada (ou, equivalentemente, escrever a função como uma série em potências de
e ler os coeficientes).
O que se pede (na minha interpretação): encontrar o coeficiente do termo
Passo 2
Simplificação algébrica da função antes de expandir. Escrevemos a função dada (com o sinal menos no denominador) e simplificamos fatores óbvios:
Não há cancelamento direto entre numerador e denominador, então deixamos assim por enquanto. Vamos relacioná-la com uma série conhecida através de uma substituição conveniente.
Passo 3
Lembrar (e derivar) a identidade geradora bem conhecida para
. Começamos da série geométrica básica:
Diferenciando em relação a
e multiplicando por
obtemos a soma dos
:
Diferenciando novamente (ou usando manipulações algébricas) chegamos à soma dos
. Uma maneira direta é observar que
Calculando a derivada:
Multiplicando por
obtemos
Essa forma pode ser rearranjada; é mais habitual usar a identidade equivalente (para começar a soma em
):
Ambas são equivalentes (diferenças de índice de somação), e a que vamos usar é
Passo 4
Fazemos a substituição
na identidade geradora. Com essa escolha,
Agora simplificamos o lado direito em termos de
e
. Calculamos passo a passo:
e
Dividindo as duas expressões:
Portanto obtemos a igualdade útil
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
(como pede o enunciado) para conectar com a expressão solicitada:
No lado direito podemos recolher os fatores de
:
Assim a função dada já está escrita como série em potências de
.
Passo 6
Leitura dos coeficientes: da igualdade
vemos que o coeficiente do termo
na expansão é exatamente
. Ou, dito de outro modo, o termo correspondente na série é
.