É dada a função horária do MUV de uma partícula, sendo os espaços medidos em metros e os instantes de tempo em segundos: s=-t^2+16 t-24.
Determine:
a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula;
b) o espaço do móvel no instante t=5 s :
c) a velocidade no instante t=4 s :
d) o instante e o espaço em que o móvel muda de sentido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função que descreve a posição de uma partícula em movimento, que é s = -t^2 + 16t - 24, onde s é o espaço em metros e t é o tempo em segundos. Vamos trabalhar com conceitos de Movimento Uniformemente Variado (MUV), que envolve aceleração constante. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a função de posição para encontrar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o espaço inicial. Isso significa descobrir onde a partícula está no instante t = 0. Basta substituir t = 0 na função:
s(0) = -0^2 + 16 times 0 - 24 = -24 m
Então, o espaço inicial é -24 metros.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade inicial. A velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo. Vamos derivar s(t):
v(t) = dsdt = ddt(-t^2 + 16t - 24) = -2t + 16
A velocidade inicial é a velocidade no instante t = 0:
v(0) = -2 times 0 + 16 = 16 m/s
Então, a velocidade inicial é 16 metros por segundo.

Passo 4

Para encontrar a aceleração, derivamos a função velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = ddt(-2t + 16) = -2 m/s^2
A aceleração é constante e igual a -2 metros por segundo ao quadrado.

Passo 5

Então, recapitulando a parte a):
  • Espaço inicial: -24 m
  • Velocidade inicial: 16 m/s
  • Aceleração: -2 m/s²

Resposta

a)
  • Espaço inicial: -24 metros
  • Velocidade inicial: 16 m/s
  • Aceleração: -2 m/s²
b)
Para t = 5 s:
s(5) = -5^2 + 16 times 5 - 24 = -25 + 80 - 24 = 31 metros
c)
Para t = 4 s, usando a função velocidade:
v(4) = -2 times 4 + 16 = -8 + 16 = 8 m/s
d)
A partícula muda de sentido quando a velocidade é zero:
v(t) = -2t + 16 = 0 Rightarrow t = 8 s
Substituindo t = 8 na função posição:
s(8) = -8^2 + 16 times 8 - 24 = -64 + 128 - 24 = 40 metros
Então, a partícula muda de sentido no instante t = 8 segundos e no espaço 40 metros.

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