Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por
x=-0,31 t^2+7,2 t+28 y=0,22 t^2-9,1 t+30
(a) No instante t=15 s, qual é o vetor posição do coelho na notação dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo? (b) Determine a velocidade no instante t =15 s do coelho; © Determine a aceleração no instante t=15 s do coelho.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve calcular a posição, velocidade e aceleração de um coelho em um estacionamento usando coordenadas. Vamos precisar de conceitos de movimento vetorial, derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e um pouco de trigonometria para a notação módulo-ângulo.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o vetor posição no instante x = -0,31 t^2 + 7,2 t + 28 y = 0,22 t^2 - 9,1 t + 30 s
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas x = -0,31 (15)^2 + 7,2 (15) + 28 e y = 0,22 (15)^2 - 9,1 (15) + 30 do coelho no tempo x = -0,31 times 225 + 108 + 28 = -69,75 + 108 + 28 = 66,25 , m segundos usando as equações fornecidas:
y = 0,22 times 225 - 136,5 + 30 = 49,5 - 136,5 + 30 = -57 , m
Substituindo r = x i + y j = 66,25 i - 57 j , m :
|r| = raizx^2 + y^2 = raiz66,25^2 + (-57)^2 approx raiz4381,56 + 3249 approx raiz7630,56 approx 87,38 , m
theta = arctan(yx) = arctan(-5766,25) approx arctan(-0,861) approx -40,6^circ
Vamos calcular cada um:
Agora, o vetor posição na notação dos vetores unitários e é:
Para encontrar a notação módulo-ângulo, calculamos o módulo do vetor e o ��ngulo que ele forma com o eixo :
Módulo :
Ângulo :
Então, o vetor posição em módulo-ângulo é aproximadamente com um ângulo de .

Passo 3

Parte (b): Determinar a velocidade no instante x(t) = -0,31 t^2 + 7,2 t + 28 Rightarrow vx(t) = dxdt = -0,62 t + 7,2 s
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar as equações de y(t) = 0,22 t^2 - 9,1 t + 30 Rightarrow vy(t) = dydt = 0,44 t - 9,1 e vx(15) = -0,62 times 15 + 7,2 = -9,3 + 7,2 = -2,1 , m/s :
vy(15) = 0,44 times 15 - 9,1 = 6,6 - 9,1 = -2,5 , m/s
v = vx i + vy j = -2,1 i - 2,5 j , m/s
Agora, substituindo |v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(-2,1)^2 + (-2,5)^2 approx raiz4,41 + 6,25 approx raiz10,66 approx 3,27 , m/s s:
thetav = arctan(vyvx) = arctan(-2,5-2,1) approx arctan(1,19) approx 50,2^circ
Então, o vetor velocidade no instante s é:
O módulo da velocidade é:
E o ângulo :
Como ambos e são negativos, o vetor está no terceiro quadrante, então o ângulo real é .

Passo 4

Parte ©: Determinar a aceleração no instante vx(t) = -0,62 t + 7,2 Rightarrow ax(t) = dvxdt = -0,62 , m/s^2 s
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar vy(t) = 0,44 t - 9,1 Rightarrow ay(t) = dvydt = 0,44 , m/s^2 e a = ax i + ay j = -0,62 i + 0,44 j , m/s^2 :
|a| = raizax^2 + ay^2 = raiz(-0,62)^2 + (0,44)^2 approx raiz0,3844 + 0,1936 approx raiz0,578 approx 0,76 , m/s^2
thetaa = arctan(ayax) = arctan(0,44-0,62) approx arctan(-0,71) approx -35,1^circ
Então, o vetor aceleração no instante s é:
O módulo da aceleração é:
E o ângulo :
Como é negativo e é positivo, o vetor aceleração está no segundo quadrante, então o ângulo real é .

Resposta

(a) No instante s, o vetor posição do coelho é na notação dos vetores unitários e com ângulo de na notação módulo-ângulo.
(b) A velocidade no instante s é com módulo de aproximadamente e ângulo de .
© A aceleração no instante s é com módulo de aproximadamente e ângulo de .

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