Q1) É dada a função horária da posição de um móvel x(t)=100+80 t, onde x é medido em metros e tem segundos. Determine:
a) a posição inicial e a velocidade escalar;
b) a posição no instante t=2 s;
c) o instante em que o móvel se encontra na posição de 500 m ;
d) construa o gráfico da velocidade em função do tempo;
e) construa o gráfico da posição em função do tempo.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função que descreve a posição de um móvel ao longo do tempo: $ x(t) = 100 + 80t $, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. O conteúdo envolvido aqui é cinemática, especificamente o estudo do movimento retilíneo uniforme (MRU). Para resolver as partes a, b, c, d e e, vamos precisar entender conceitos como posição inicial, velocidade escalar, avaliação da posição em um instante específico, encontrar o tempo para uma determinada posição e construir gráficos de movimento.

Passo 2

Parte a: Determinar a posição inicial e a velocidade escalar.
A posição inicial é a posição do móvel no instante $ t = 0 $. Para encontrar isso, substituímos $ t = 0 $ na função $ x(t) $:
t = 0
A velocidade escalar em MRU é constante e é o coeficiente que multiplica o tempo na função de posição. Portanto, a velocidade $ v $ é:
t = 0

Passo 3

Parte b: Determinar a posição no instante $ t = 2 $ s.
Para encontrar a posição no tempo $ t = 2 $ segundos, substituímos $ t = 2 $ na função $ x(t) $:
t = 2

Passo 4

Parte c: Determinar o instante em que o móvel se encontra na posição de 500 m.
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ x(t) = 500 $ metros. Igualamos a função à posição desejada e resolvemos para $ t $:
t
Subtraímos 100 de ambos os lados:
x(t) = 500
Dividimos ambos os lados por 80:
t

Passo 5

Parte d: Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.
No movimento retilíneo uniforme (MRU), a velocidade é constante. Isso significa que, independentemente do tempo, a velocidade permanece a mesma. Portanto, o gráfico da velocidade em função do tempo será uma linha horizontal.
v(t) = 80 m/s
Gráfico Velocidade vs Tempo

Passo 6

Parte e: Construir o gráfico da posição em função do tempo.
A função $ x(t) = 100 + 80t $ é uma equação linear, onde 100 é a posição inicial e 80 é a velocidade. O gráfico será uma linha reta que intercepta o eixo $ y $ (posição) em 100 metros e tem uma inclinação de 80 m/s, indicando que a posição aumenta continuamente com o tempo.
x(t) = 100 + 80t
Gráfico Posição vs Tempo

Resposta

a) Posição inicial: 100 metros; Velocidade escalar: 80 m/s
b) Posição em $ t = 2 $ s: 260 metros
c) Instante na posição de 500 metros: 5 segundos

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