Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{r}1-x^{2}, s e|x|<1 \\\\ 0, s e|x|>1\end{array}\right.. Calcule \mathscr{F}\{f(x)\}, pela definição!
Calcule \mathscr{F}\left\{\mathbf{e}^{\text {at }} \mathbf{U}(-\boldsymbol{t})\right\}, pela definição!

Passo 1

O enunciado pede duas transformadas de Fourier calculadas “pela definição”. As informações dadas são:
  1. Função 1: f(x)=\begin{cases}1-x^{2}, & \text{se }|x|<1,\\[4pt] 0, & \text{se }|x|>1.\end{cases} (o valor em |x|=1 não altera a integral).
  2. Função 2: g(t)=\mathrm{e}^{at}\,U(-t), onde U(-t) é a função degrau que vale 1 para t\le 0 e 0 para t>0.
  3. Devemos calcular \mathscr{F}\{f(x)\} e \mathscr{F}\{g(t)\} usando a definição da transformada de Fourier (convenção com o exponencial e^{-i\omega t}).]

Passo 2

Primeiro, escrevemos explicitamente a definição de transformada de Fourier que vamos usar (pela definição):
\mathscr{F}\{h(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Vou aplicar essa definição às duas funções, passo a passo, explicando cada manipulação.

Passo 3

Transformada de f(x). Como f(x) é diferente de zero apenas em [-1,1], a integral pela definição reduz a
\mathscr{F}\{f\}(\omega)=\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,e^{-i\omega x}\,dx.
Observe que 1-x^{2} é função par (ou seja, (1-(-x)^{2})=1-x^{2}). Quando multiplicamos uma função par por e^{-i\omega x} e integramos simetricamente em [-1,1], a parte ímpar do exponencial cancela e ficamos com o cosseno. Assim podemos escrever:
\mathscr{F}\{f\}(\omega)=2\int_{0}^{1} (1-x^{2})\cos(\omega x)\,dx.
Isto simplifica o cálculo porque agora lidamos com integrais reais.

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes e definir notações para facilitar:
I_0=\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx, \qquad I_2=\int_{0}^{1}x^{2}\cos(\omega x)\,dx.
Então
\mathscr{F}\{f\}(\omega)=2\bigl(I_0-I_2\bigr).

Passo 5

Calcule I_0. É uma integral simples:
I_0=\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx=\left[\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\right]_{0}^{1}=\frac{\sin\omega}{\omega}.
Aqui \omega é a variável de frequência; quando \omega=0 esse resultado deve ser entendido por limite (vai aparecer naturalmente depois).

Passo 6

Calcule I_2 por partes. Tome u=x^{2} e dv=\cos(\omega x)\,dx. Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(\omega x)}{\omega}. Aplicando integração por partes:
I_2=\left[x^{2}\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} \frac{\sin(\omega x)}{\omega}\cdot 2x\,dx =\frac{\sin\omega}{\omega}-\frac{2}{\omega}\int_{0}^{1} x\sin(\omega x)\,dx.

Passo 7

Calcule J=\int_{0}^{1} x\sin(\omega x)\,dx por partes também. Tome u=x, dv=\sin(\omega x)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(\omega x)}{\omega}. Portanto
J=\left[-x\frac{\cos(\omega x)}{\omega}\right]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{\cos(\omega x)}{\omega}\,dx =-\frac{\cos\omega}{\omega}+\frac{1}{\omega}\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx.
Mas já calculámos \int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx=I_0=\dfrac{\sin\omega}{\omega}. Logo
J=-\frac{\cos\omega}{\omega}+\frac{\sin\omega}{\omega^{2}}.

Passo 8

Volte para I_2. Substituindo J em I_2:
I_2=\frac{\sin\omega}{\omega}-\frac{2}{\omega}\left(-\frac{\cos\omega}{\omega}+\frac{\sin\omega}{\omega^{2}}\right) =\frac{\sin\omega}{\omega}+\frac{2\cos\omega}{\omega^{2}}-\frac{2\sin\omega}{\omega^{3}}.

Passo 9

Agora calcule I_0-I_2:
I_0-I_2=\frac{\sin\omega}{\omega}-\left(\frac{\sin\omega}{\omega}+\frac{2\cos\omega}{\omega^{2}}-\frac{2\sin\omega}{\omega^{3}}\right) =-\frac{2\cos\omega}{\omega^{2}}+\frac{2\sin\omega}{\omega^{3}}.
Multiplicando por 2 (lembre que \mathscr{F}\{f\}=2(I_0-I_2)) obtemos
\mathscr{F}\{f\}(\omega)=-\frac{4\cos\omega}{\omega^{2}}+\frac{4\sin\omega}{\omega^{3}}=\frac{4}{\omega^{3}}\bigl(\sin\omega-\omega\cos\omega\bigr).

Passo 10

Comentário sobre \omega=0. A expressão obtida tem indeterminação em \omega=0, mas o valor por continuidade (limite \omega\to 0) é
\lim_{\omega\to 0}\frac{4}{\omega^{3}}\bigl(\sin\omega-\omega\cos\omega\bigr)=\frac{4}{3},
que coincide com a integral direta \int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx=\tfrac{4}{3}. Portanto a fórmula acima é válida para \omega\neq 0 e seu limite dá o valor em \omega=0.

Passo 11

Agora a segunda transformada: \mathscr{F}\{\mathrm{e}^{at}U(-t)\}. Pelo enunciado usamos a definição:
\mathscr{F}\{\mathrm{e}^{at}U(-t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{at}U(-t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Como U(-t)=1 para t\le 0 e 0 para t>0, a integral reduz a
\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{at}e^{-i\omega t}\,dt=\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{(a-i\omega)t}\,dt.

Passo 12

Avalie a integral impropriamente. A primitiva de \mathrm{e}^{(a-i\omega)t} é \dfrac{\mathrm{e}^{(a-i\omega)t}}{a-i\omega} (desde que a-i\omega\neq 0). Assim
\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{(a-i\omega)t}\,dt=\left[\frac{\mathrm{e}^{(a-i\omega)t}}{a-i\omega}\right]_{t=-\infty}^{0} =\frac{1}{a-i\omega}-\lim_{t\to -\infty}\frac{\mathrm{e}^{(a-i\omega)t}}{a-i\omega}.

Passo 13

Convergência. Para que o termo limite quando t\to -\infty seja zero, precisamos que \operatorname{Re}(a-i\omega)>0, isto é \operatorname{Re}(a)>0. Sob essa condição a exponencial tende a zero quando t\to -\infty e obtemos
\mathscr{F}\{\mathrm{e}^{at}U(-t)\}(\omega)=\frac{1}{a-i\omega},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(a)>0.
Se \operatorname{Re}(a)\le 0 a integral não converge no sentido usual (pode ser entendida em sentido de distribuições para certos casos, mas pela definição elementar a condição de convergência é \operatorname{Re}(a)>0).

Resposta

\displaystyle \mathscr{F}\{f(x)\}(\omega)=\frac{4}{\omega^{3}}\bigl(\sin\omega-\omega\cos\omega\bigr)
\displaystyle \mathscr{F}\{\mathrm{e}^{at}U(-t)\}(\omega)=\frac{1}{a-i\omega}\quad\text{(válido para }\operatorname{Re}(a)>0\text{)}á

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