Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{r}1-x^{2}, s e|x|<1 \\\\ 0, s e|x|>1\end{array}\right.. Calcule \mathscr{F}\{f(x)\}, pela definição!
Calcule \mathscr{F}\left\{\mathbf{e}^{\text {at }} \mathbf{U}(-\boldsymbol{t})\right\}, pela definição!
Passo 1
O enunciado pede duas transformadas de Fourier calculadas “pela definição”. As informações dadas são:
Função 1: f(x)=\begin{cases}1-x^{2}, & \text{se }|x|<1,\\[4pt] 0, & \text{se }|x|>1.\end{cases} (o valor em |x|=1 não altera a integral).
Função 2: g(t)=\mathrm{e}^{at}\,U(-t), onde U(-t) é a função degrau que vale 1 para t\le 0 e 0 para t>0.
Devemos calcular \mathscr{F}\{f(x)\} e \mathscr{F}\{g(t)\} usando a definição da transformada de Fourier (convenção com o exponencial e^{-i\omega t}).]
Passo 2
Primeiro, escrevemos explicitamente a definição de transformada de Fourier que vamos usar (pela definição):
Observe que 1-x^{2} é função par (ou seja, (1-(-x)^{2})=1-x^{2}). Quando multiplicamos uma função par por e^{-i\omega x} e integramos simetricamente em [-1,1], a parte ímpar do exponencial cancela e ficamos com o cosseno. Assim podemos escrever:
Calcule J=\int_{0}^{1} x\sin(\omega x)\,dx por partes também. Tome u=x, dv=\sin(\omega x)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(\omega x)}{\omega}. Portanto
que coincide com a integral direta \int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx=\tfrac{4}{3}. Portanto a fórmula acima é válida para \omega\neq 0 e seu limite dá o valor em \omega=0.
Passo 11
Agora a segunda transformada: \mathscr{F}\{\mathrm{e}^{at}U(-t)\}. Pelo enunciado usamos a definição:
Avalie a integral impropriamente. A primitiva de \mathrm{e}^{(a-i\omega)t} é \dfrac{\mathrm{e}^{(a-i\omega)t}}{a-i\omega} (desde que a-i\omega\neq 0). Assim
Convergência. Para que o termo limite quando t\to -\infty seja zero, precisamos que \operatorname{Re}(a-i\omega)>0, isto é \operatorname{Re}(a)>0. Sob essa condição a exponencial tende a zero quando t\to -\infty e obtemos
Se \operatorname{Re}(a)\le 0 a integral não converge no sentido usual (pode ser entendida em sentido de distribuições para certos casos, mas pela definição elementar a condição de convergência é \operatorname{Re}(a)>0).