Usando o formulário, determine, passo a passo:
(\text{valor} = 0,5 \text{ ponto}) \mathscr{F}\{\cos (2 x) \cos (10 x)\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função \cos(2x)\cos(10x). Dados fornecidos: a função em x é \cos(2x)\cos(10x). Objetivo: encontrar \mathscr{F}\{\cos(2x)\cos(10x)\}(\omega) (isto é, a transformada como função da frequência \omega). Vou usar a convenção padrão
\mathscr{F}\{f(x)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 2

Primeiro simplificamos o produto de cossenos usando a identidade produto-para-soma. A identidade é
\cos A \cos B = \tfrac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Aplicando com A=2x e B=10x obtemos
\cos(2x)\cos(10x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(12x)+\cos(-8x)\big).
Como \cos(-8x)=\cos(8x), então
\cos(2x)\cos(10x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(12x)+\cos(8x)\big).

Passo 3

Agora lembro uma fórmula útil do formulário: a transformada de Fourier de uma exponencial complexa é uma delta:
\mathscr{F}\{e^{i\omega_0 x}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega-\omega_0).
Explicação curta: isso vem da integral \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega_0-\omega)x}\,dx = 2\pi\delta(\omega-\omega_0), interpretada em sentido de distribuições. A função \delta é a distribuição de Dirac que “pega” a frequência \omega_0.

Passo 4

Usando que \cos(\omega_0 x)=\tfrac{1}{2}\big(e^{i\omega_0 x}+e^{-i\omega_0 x}\big) e a linearidade da transformada, obtemos a fórmula padrão
\mathscr{F}\{\cos(\omega_0 x)\}(\omega)=\pi\big(\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\big).
Explicando: cada exponencial gera um 2\pi\delta, e o fator 1/2 \pi.

Passo 5

Aplicamos a linearidade à expressão obtida no Passo 2:
\mathscr{F}\{\cos(2x)\cos(10x)\}(\omega)=\tfrac{1}{2}\,\mathscr{F}\{\cos(12x)\}(\omega)+\tfrac{1}{2}\,\mathscr{F}\{\cos(8x)\}(\omega).
Usando a fórmula do Passo 4 para \omega_0=12 e \omega_0=8, temos
\mathscr{F}\{\cos(12x)\}(\omega)=\pi\big(\delta(\omega-12)+\delta(\omega+12)\big),
\mathscr{F}\{\cos(8x)\}(\omega)=\pi\big(\delta(\omega-8)+\delta(\omega+8)\big).
Portanto
\mathscr{F}\{\cos(2x)\cos(10x)\}(\omega)=\tfrac{\pi}{2}\big(\delta(\omega-12)+\delta(\omega+12)+\delta(\omega-8)+\delta(\omega+8)\big).

Resposta

\displaystyle \mathscr{F}\{\cos(2x)\cos(10x)\}(\omega)=\tfrac{\pi}{2}\big(\delta(\omega-12)+\delta(\omega+12)+\delta(\omega-8)+\delta(\omega+8)\big)

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