O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução y(t) que satisfaça tudo isso. Dados e pedido listados claramente:
y''-y'-2y=4e^{3t}
Condições iniciais:
y(0)=2,\qquad y'(0)=5
Pergunta: encontrar a função y(t) definida para t\ge0 que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace; primeiro lembro a definição e as propriedades que vamos precisar (explicando bem como usar na prova).
Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
Breve verificação (útil para a prova): em t=0 temos y(0)=1+1=2 e y'(t)=3e^{3t}+2e^{2t} dá y'(0)=3+2=5, que coincide com as condições iniciais. Substituindo na equação diferencial confirma-se que o lado esquerdo resulta em 4e^{3t}, então a solução está correta.