(2,0) Utilize transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=4 e^{3 t}, \quad y(0)=2 \text { e } y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução y(t) que satisfaça tudo isso. Dados e pedido listados claramente:
y''-y'-2y=4e^{3t}
Condições iniciais:
y(0)=2,\qquad y'(0)=5
Pergunta: encontrar a função y(t) definida para t\ge0 que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace; primeiro lembro a definição e as propriedades que vamos precisar (explicando bem como usar na prova).
Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Propriedades importantes que usamos para derivadas (essas aparecem sempre em exercícios de PVI):
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0),
\mathcal{L}\{f''(t)\}(s)=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Essas fórmulas vêm da integração por partes; na prova é comum memorizá-las e usá-las diretamente.
Também usamos linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
E a transformada da exponencial:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para }s>a).

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Defino Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Transformando termo a termo:
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 2-5,
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s)-2,
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s),
\mathcal{L}\{4e^{3t}\}(s)=\frac{4}{s-3}.
Substituindo na equação transformada:
\big(s^{2}Y(s)-2s-5\big)-\big(sY(s)-2\big)-2Y(s)=\frac{4}{s-3}.

Passo 4

Organizo os termos que envolvem Y(s) e os termos constantes:
Agrupando os Y(s):
s^{2}Y(s)-sY(s)-2Y(s)=(s^{2}-s-2)Y(s).
Agrupando os termos numéricos do lado esquerdo:
-2s-5 +2 = -2s-3.
Logo a equação fica
(s^{2}-s-2)Y(s)-2s-3=\frac{4}{s-3}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{\dfrac{4}{s-3}+2s+3}{s^{2}-s-2}.

Passo 5

Faço o denominador mais explícito e coloco tudo em uma única fração racional para decompor depois. Observando:
s^{2}-s-2=(s-2)(s+1).
Coloco o numerador sobre o mesmo denominador (s-3)(s-2)(s+1). Multiplicando numerador e denominador adequadamente:
Y(s)=\frac{4+(2s+3)(s-3)}{(s-3)(s-2)(s+1)}.
Calculo o produto no numerador:
(2s+3)(s-3)=2s^{2}-3s-9.
Somando 4:
4+(2s+3)(s-3)=2s^{2}-3s-5.
Portanto
Y(s)=\frac{2s^{2}-3s-5}{(s-3)(s-2)(s+1)}.

Passo 6

Agora faço decomposição em frações parciais do tipo
\frac{2s^{2}-3s-5}{(s-3)(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s+1}.
Multiplico ambos os lados por (s-3)(s-2)(s+1) para obter uma identidade polinomial:
2s^{2}-3s-5=A(s-2)(s+1)+B(s-3)(s+1)+C(s-3)(s-2).

Passo 7

Expando os produtos no lado direito e coleto coeficientes. Primeiro escrevo cada termo expandido:
A(s-2)(s+1)=A(s^{2}-s-2),
B(s-3)(s+1)=B(s^{2}-2s-3),
C(s-3)(s-2)=C(s^{2}-5s+6).
Somando:
(A+B+C)s^{2}+(-A-2B-5C)s+(-2A-3B+6C)=2s^{2}-3s-5.
Igualando coeficientes dos polinômios obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B+C=2,\\[4pt] - A-2B-5C=-3,\\[4pt] -2A-3B+6C=-5. \end{cases}
Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação:
A=2-B-C.
Substituo na segunda:
-(2-B-C)-2B-5C=-3 \Rightarrow -2 -B -4C=-3 \Rightarrow B+4C=1.
Substituo A\) na terceira: \[-2(2-B-C)-3B+6C=-5 \Rightarrow -4+2B+2C-3B+6C=-5 \Rightarrow -B+8C=-1.
Agora tenho o sistema em B,C:
\begin{cases} B+4C=1,\\\ B-8C=1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(B+4C)-(B-8C)=1-1 \Rightarrow 12C=0 \Rightarrow C=0.
Usando C=0\] em \(B+4C=1 B=1. Finalmente A=2-B-C=2-1-0=1.
Portanto A=1,\;B=1,\;C=0.]

Passo 8

Reescrevo Y(s) com os coeficientes encontrados:
Y(s)=\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s-2}+\frac{0}{s+1}=\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s-2}.
Agora aplico a transformada inversa de Laplace termo a termo. Lembro que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Assim
y(t)=e^{3t}+e^{2t}.

Passo 9

Breve verificação (útil para a prova): em t=0 temos y(0)=1+1=2 e y'(t)=3e^{3t}+2e^{2t} y'(0)=3+2=5, que coincide com as condições iniciais. Substituindo na equação diferencial confirma-se que o lado esquerdo resulta em 4e^{3t}, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=e^{3t}+e^{2t}

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