e pede basicamente duas coisas em relação ao ponto p=1:
(a) Verificar as condições de continuidade em p=1: isto é, calcular f(1), \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x) e decidir se \lim_{x\to1}f(x)=f(1).
(b) Calcular as derivadas laterais em p=1, isto é \displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} e \displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}, e dizer se f é derivável em p=1.
As informações relevantes dadas são a expressão de f em cada ramo e o ponto especial x=1 onde a definição muda.]
Passo 2
Calcular f(1). Pelo enunciado, para x\ge 1 usamos o ramo f(x)=2-x. Substituindo x=1 obtemos
f(1)=2-1=1.
Explicação didática: quando a função é definida por partes, o valor em um ponto limite da partição é determinado pela expressão que vale naquele ponto (aqui o ramo com \ge 1). Não há nada de misterioso: basta substituir.
Passo 3
Lembrar a definição de continuidade em um ponto (aula rápida):
Dizemos que f é contínua em x=1 se e somente se os três valores forem iguais:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).
Para funções simples como polinômios e funções lineares, a passagem ao limite é feita por substituição direta (são contínuas em todo ponto). Aqui cada ramo é uma função linear, então os limites laterais são obtidos substituindo x=1 na expressão de cada ramo.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to1^-}f(x). Para x<1 vale f(x)=2x-1. Como 2x-1 é linear, o limite quando x\to1^- é simplesmente o valor em 1:
temos \lim_{x\to1}f(x)=1=f(1). Portanto f é contínua em p=1.
Explicação extra e moral da história: continuidade exige que os dois limites laterais existam e coincidam com o valor da função. Aqui ambos existem e valem 1.
Passo 7
Preparar para derivadas laterais: definição e ideia. A derivada em x=1, se existir, é o limite
f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Como esse limite pode não existir ou os dois lados podem diferir, definimos as derivadas laterais:
Comentário: de novo, a simplificação mostra que a razão de diferença é constante igual a 2 para x\neq1 no ramo à esquerda, então o limite lateral é 2.
Passo 10
Concluir sobre derivabilidade. Encontramos
f'_-(1)=2\qquad\text{e}\qquad f'_+(1)=-1.
Como as derivadas laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe e, portanto, f não é derivável em p=1.
Observação pedagógica final: isso é um exemplo clássico — uma função pode ser contínua em um ponto (aqui sim) mas não derivável se os “pendentes” à esquerda e à direita forem diferentes (aqui são 2 e -1). Na prova, fique atento: sempre calcule f(1) primeiro, depois os limites laterais e por fim as razões de diferença para as derivadas laterais.
Resposta
f(1)=1 \displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=1 \displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=1 f é contínua em p=1 \displaystyle f'_-(1)=2 \displaystyle f'_+(1)=-1 f não é derivável em p=1