Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{rll}2 x-1 & \text { se } & x<1 \\\\ 2-x & \text { se } & x \geq 1\end{array}\right.
a) Condições de continuidade.
i) f(1)=1
ii) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(2-x)=1
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(2 x-1)=1
\operatorname{assim} \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1
iii) como \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1) segue que a função f é contínua em p=1
b) As derivadas laterais da função no ponto p=1 são;
i) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2-x-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{-(x-1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}-1=-1
ii) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2 x-1-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2(x-1)}{x-1} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} 2=2
Como as derivadas laterais são diferentes a função não é derivável em p=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}2x-1 & \text{se } x<1,\\[4pt] 2-x & \text{se } x\ge 1,\end{cases}
e pede basicamente duas coisas em relação ao ponto p=1:
  • (a) Verificar as condições de continuidade em p=1: isto é, calcular f(1), \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x) e decidir se \lim_{x\to1}f(x)=f(1).
  • (b) Calcular as derivadas laterais em p=1, isto é \displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} e \displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}, e dizer se f é derivável em p=1.
As informações relevantes dadas são a expressão de f em cada ramo e o ponto especial x=1 onde a definição muda.]

Passo 2

Calcular f(1). Pelo enunciado, para x\ge 1 usamos o ramo f(x)=2-x. Substituindo x=1 obtemos
f(1)=2-1=1.
Explicação didática: quando a função é definida por partes, o valor em um ponto limite da partição é determinado pela expressão que vale naquele ponto (aqui o ramo com \ge 1). Não há nada de misterioso: basta substituir.

Passo 3

Lembrar a definição de continuidade em um ponto (aula rápida):
  • Dizemos que f é contínua em x=1 se e somente se os três valores forem iguais:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).
  • Para funções simples como polinômios e funções lineares, a passagem ao limite é feita por substituição direta (são contínuas em todo ponto). Aqui cada ramo é uma função linear, então os limites laterais são obtidos substituindo x=1 na expressão de cada ramo.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to1^-}f(x). Para x<1 vale f(x)=2x-1. Como 2x-1 é linear, o limite quando x\to1^- é simplesmente o valor em 1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(2x-1)=2\cdot 1-1=1.
Comentário: aqui usei que funções lineares são contínuas, logo o limite lateral é o mesmo do valor da expressão em x=1.

Passo 5

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to1^+}f(x). Para x\ge1 vale f(x)=2-x. Novamente, por continuidade da função linear,
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2-x)=2-1=1.

Passo 6

Concluir sobre continuidade. Como
\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=1,\qquad f(1)=1,
temos \lim_{x\to1}f(x)=1=f(1). Portanto f é contínua em p=1.
Explicação extra e moral da história: continuidade exige que os dois limites laterais existam e coincidam com o valor da função. Aqui ambos existem e valem 1.

Passo 7

Preparar para derivadas laterais: definição e ideia. A derivada em x=1, se existir, é o limite
f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Como esse limite pode não existir ou os dois lados podem diferir, definimos as derivadas laterais:
f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}, \qquad f'_+(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Se e somente se f'_-(1)=f'_+(1) existe a derivada f'(1) e vale esse valor comum. Do contrário, f não é derivável em 1.

Passo 8

Calcular a derivada lateral pela direita f'_+(1). Para x>1 usamos f(x)=2-x. Então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(2-x)-1}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}.
Para x\neq1 a fração simplifica para -1. Assim
f'_+(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(-1)=-1.
Comentário didático: ao simplificar \frac{-(x-1)}{x-1} obtemos -1 para todo x\neq1, então o limite quando x se aproxima de 1 é simplesmente -1.

Passo 9

Calcular a derivada lateral pela esquerda f'_-(1). Para x<1 usamos f(x)=2x-1. Então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(2x-1)-1}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}.
Para x\neq1 isso simplifica para 2. Portanto
f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}2=2.
Comentário: de novo, a simplificação mostra que a razão de diferença é constante igual a 2 para x\neq1 no ramo à esquerda, então o limite lateral é 2.

Passo 10

Concluir sobre derivabilidade. Encontramos
f'_-(1)=2\qquad\text{e}\qquad f'_+(1)=-1.
Como as derivadas laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe e, portanto, f não é derivável em p=1.
Observação pedagógica final: isso é um exemplo clássico — uma função pode ser contínua em um ponto (aqui sim) mas não derivável se os “pendentes” à esquerda e à direita forem diferentes (aqui são 2 e -1). Na prova, fique atento: sempre calcule f(1) primeiro, depois os limites laterais e por fim as razões de diferença para as derivadas laterais.

Resposta

f(1)=1
\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=1
f é contínua em p=1
\displaystyle f'_-(1)=2
\displaystyle f'_+(1)=-1
f não é derivável em p=1

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