Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)(x+1)}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}-x-1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}}{x^{3}}=1

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x \to +\infty da função racional
\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{(x^{2}-1)(x+1)}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • O numerador é o polinômio x^{3}-2x^{2}+1.
  • O denominador está escrito em fatoração (x^{2}-1)(x+1); podemos expandi-lo se for útil.
  • O limite é no infinito positivo: x\to+\infty.
    A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar/observar os polinômios para ver os graus e os coeficientes dominantes.
Expandindo o denominador:
(x^{2}-1)(x+1)=x^{2}\cdot x + x^{2}\cdot 1 -1\cdot x -1\cdot 1 = x^{3}+x^{2}-x-1.
Então a expressão é equivalente a
\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}-x-1}.
Agora observe os graus:
  • O numerador é um polinômio de grau \,3 cujo termo de maior grau é x^{3} com coeficiente 1.
  • O denominador também é um polinômio de grau \,3 cujo termo de maior grau é x^{3} com coeficiente 1.
Quando numerador e denominador têm o mesmo grau, o comportamento para x\to\infty costuma ser governado pelos coeficientes dos termos de maior grau — mas vamos mostrar isso de forma algébrica, passo a passo.

Passo 3

Método rigoroso: dividir numerador e denominador por x^{3} (maior potência presente). Isso coloca todos os termos como frações que tendem a zero quando x\to+\infty.
Divide-se cada termo por x^{3}:
\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}-x-1} = \frac{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}} {\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{x}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{3}}}.
Simplificando as frações:
\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}-x-1} = \frac{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora usamos propriedades básicas de limites: para x\to+\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0, \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, \dfrac{1}{x^{3}}\to 0. Explico rapidinho por que: conforme x cresce sem limite, 1/x fica cada vez menor e tende a 0; o mesmo vale para potências maiores no denominador, que tendem a zero ainda mais rápido.
Tomando limite termo a termo (soma, subtração e quociente bem comportados aqui):
\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{1-0+0}{1+0-0-0} =\frac{1}{1}.

Passo 5

Conclusão: o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau é \dfrac{1}{1}, confirmando o resultado obtido pela divisão acima. (Regra rápida: para duas polinômios de mesmo grau, o limite do quociente é o quociente dos coeficientes líderes.)
Um exemplo extra rápido para fixar: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{4}+x}{6x^{4}-5}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}, porque só importam os coeficientes dos x^{4}.

Resposta

1

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