Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
da função racional
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- O numerador é o polinômio
. - O denominador está escrito em fatoração
; podemos expandi-lo se for útil. - O limite é no infinito positivo:
.
A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar/observar os polinômios para ver os graus e os coeficientes dominantes.
Expandindo o denominador:
Então a expressão é equivalente a
Agora observe os graus:
- O numerador é um polinômio de grau
cujo termo de maior grau é com coeficiente . - O denominador também é um polinômio de grau
cujo termo de maior grau é com coeficiente .
Quando numerador e denominador têm o mesmo grau, o comportamento para
costuma ser governado pelos coeficientes dos termos de maior grau — mas vamos mostrar isso de forma algébrica, passo a passo.
Passo 3
Método rigoroso: dividir numerador e denominador por
(maior potência presente). Isso coloca todos os termos como frações que tendem a zero quando
.
Divide-se cada termo por
:
Simplificando as frações:
Passo 4
Agora usamos propriedades básicas de limites: para
temos
,
,
. Explico rapidinho por que: conforme
cresce sem limite,
fica cada vez menor e tende a
; o mesmo vale para potências maiores no denominador, que tendem a zero ainda mais rápido.
Tomando limite termo a termo (soma, subtração e quociente bem comportados aqui):
Passo 5
Conclusão: o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau é
, confirmando o resultado obtido pela divisão acima. (Regra rápida: para duas polinômios de mesmo grau, o limite do quociente é o quociente dos coeficientes líderes.)
Um exemplo extra rápido para fixar:
, porque só importam os coeficientes dos
.