Dada a função
encontre
usando a definição da derivada.
Por definição,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
usando a definição da derivada. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deve-se usar a definição da derivada no ponto
: .
O objetivo final é calcular esse limite e apresentar o valor numérico de.
Passo 2
Lembrete didático sobre a definição de derivada no ponto. A derivada de
em
é dada por
Explicando cada parte: aqui
é o ponto onde queremos a derivada;
mede a variação do valor da função; dividir por
dá a taxa média de variação (razão entre variação de
e variação de
); o limite quando
se aproxima de
transforma essa taxa média em taxa instantânea (a derivada). Há outra forma equivalente muito usada:
onde se faz a substituição
. Ambas são válidas e dão o mesmo resultado.
Passo 3
Calcular
explicitamente (vai entrar na diferença do quociente):
Portanto, na diferença
teremos
.
Passo 4
Montar o quociente de diferença que aparece na definição e simplificá-lo:
Agora fatoramos o polinômio do numerador. Procure dois números que multiplicam para
e somam para
; esses números são
e
. Logo:
Passo 5
Substituir a fatoração no quociente e cancelar o fator comum:
Aqui é importante observar uma sutilidade: para
o quociente original não está definido (divisão por zero). Mas como estamos calculando um limite quando
, podemos cancelar o fator comum para
e considerar a expressão equivalente para valores próximos de
:
Passo 6
Usar propriedades de limites e continuidade. Polinômios são funções contínuas, então o limite de
quando
é simplesmente a substituição
:
Explicando de forma simples: depois do cancelamento a expressão que estamos tomando o limite é a função
; à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 7
Interpretação rápida e alternativa (modo
). Se preferir fazer com
, tomar
e
:
Fazendo
obtemos
. É o mesmo resultado, só muda a forma de apresentar.
Passo 8
Comentário final de incentivo: o procedimento padrão é sempre calcular
, montar o quociente
, simplificar (fatorando e cancelando, quando possível) e então tomar o limite. Dá um pouco de trabalho no começo, mas vira rotina com prática — e você já fez isso agora!