Dada a função f(x)=x^{2}-3 x encontre f^{\prime}(2) usando a definição da derivada.
Por definição,
f^{\prime}(2)=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2}(x-1)= 2-1=1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-3x e pede para encontrar f^{\prime}(2) usando a definição da derivada. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}-3x.
  • Deve-se usar a definição da derivada no ponto x=2: \displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
    O objetivo final é calcular esse limite e apresentar o valor numérico de f^{\prime}(2).

Passo 2

Lembrete didático sobre a definição de derivada no ponto. A derivada de f em a é dada por
f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Explicando cada parte: aqui a é o ponto onde queremos a derivada; f(x)-f(a) mede a variação do valor da função; dividir por x-a dá a taxa média de variação (razão entre variação de f e variação de x); o limite quando x se aproxima de a transforma essa taxa média em taxa instantânea (a derivada). Há outra forma equivalente muito usada:
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde se faz a substituição h=x-a. Ambas são válidas e dão o mesmo resultado.

Passo 3

Calcular f(2) explicitamente (vai entrar na diferença do quociente):
f(2)=2^{2}-3\cdot 2=4-6=-2.
Portanto, na diferença f(x)-f(2) teremos f(x)-(-2)=f(x)+2.

Passo 4

Montar o quociente de diferença que aparece na definição e simplificá-lo:
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^{2}-3x-(-2)}{x-2}=\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}.
Agora fatoramos o polinômio do numerador. Procure dois números que multiplicam para 2 e somam para -3; esses números são -1 e -2. Logo:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 5

Substituir a fatoração no quociente e cancelar o fator comum:
\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}.
Aqui é importante observar uma sutilidade: para x=2 o quociente original não está definido (divisão por zero). Mas como estamos calculando um limite quando x\to 2, podemos cancelar o fator comum para x\neq 2 e considerar a expressão equivalente para valores próximos de 2:
\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1\qquad\text{para }x\neq 2.

Passo 6

Usar propriedades de limites e continuidade. Polinômios são funções contínuas, então o limite de x-1 quando x\to 2 é simplesmente a substituição x=2:
\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x-1)=2-1=1.
Explicando de forma simples: depois do cancelamento a expressão que estamos tomando o limite é a função x-1; à medida que x se aproxima de 2, x-1 se aproxima de 1.

Passo 7

Interpretação rápida e alternativa (modo h\to 0). Se preferir fazer com h, tomar x=2+h e h\to 0:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^{2}-3(2+h)-(-2)}{h}=\frac{4+4h+h^{2}-6-3h+2}{h}=\frac{h^{2}+h}{h}=h+1.
Fazendo h\to 0 obtemos 1. É o mesmo resultado, só muda a forma de apresentar.

Passo 8

Comentário final de incentivo: o procedimento padrão é sempre calcular f(a), montar o quociente \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}, simplificar (fatorando e cancelando, quando possível) e então tomar o limite. Dá um pouco de trabalho no começo, mas vira rotina com prática — e você já fez isso agora!

Resposta

1

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