Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { se } x<0 \text { ou } x>1\end{array}\right., determine k para que seja uma função densidade de probabilidade.
a) 3
b) 2
c) 1 / 3
d) 1
e) 1 / 2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} k x, & \text{se } 0 \le x \le 1,\\[4pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>1, \end{cases}
e pede para determinar o valor de k para que f seja uma função densidade de probabilidade. Informações relevantes: a função é nula fora de [0,1] e igual a k x dentro de [0,1]. A resposta deve ser uma das opções fornecidas.]

Passo 2

Para f ser uma função densidade de probabilidade é preciso satisfazer duas condições fundamentais:
  1. Não-negatividade: f(x)\ge 0 para todo x.
  2. Normalização: a integral de f em toda a reta deve ser 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou aplicar estas duas condições ao nosso f.

Passo 3

Verificando a não-negatividade: fora do intervalo [0,1] temos f(x)=0, então não há problema. No intervalo [0,1] temos f(x)=kx. Como x\ge 0 nesse intervalo, para garantir kx\ge 0 basta ter k\ge 0. Logo a condição de não-negatividade exige k\ge 0. Mais à frente veremos que o valor que normaliza a integral também satisfaz isso.

Passo 4

Agora aplicamos a condição de normalização. Como f(x)=0 fora de [0,1], a integral em toda a reta reduz-se à integral em [0,1]:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} kx\,dx = 1.
Então precisamos calcular \int_{0}^{1} kx\,dx.

Passo 5

Fatoramos k pois é constante em relação a x:
\int_{0}^{1} kx\,dx = k \int_{0}^{1} x\,dx.
Agora calculamos \int_{0}^{1} x\,dx. A primitiva (antiderivada) de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1^{2}}{2} - \dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo o resultado no passo anterior:
k \int_{0}^{1} x\,dx = k \cdot \dfrac{1}{2}.
A condição de normalização pede que isso seja 1, então
k\cdot \dfrac{1}{2} = 1.
Resolvendo para k:
k = 1 \cdot 2 = 2.
Esse valor satisfaz também k\ge 0, então é válido.

Passo 7

Conferindo com as alternativas dadas, o valor encontrado corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) 2

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