Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { se } x<0 \text { ou } x>1\end{array}\right., determine k para que seja uma função densidade de probabilidade.
a) 3
b) 2
c) 1 / 3
d) 1
e) 1 / 2
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} k x, & \text{se } 0 \le x \le 1,\\[4pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>1, \end{cases}
e pede para determinar o valor de k para que f seja uma função densidade de probabilidade. Informações relevantes: a função é nula fora de [0,1] e igual a k x dentro de [0,1]. A resposta deve ser uma das opções fornecidas.]
Passo 2
Para f ser uma função densidade de probabilidade é preciso satisfazer duas condições fundamentais:
Não-negatividade: f(x)\ge 0 para todo x.
Normalização: a integral de f em toda a reta deve ser 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou aplicar estas duas condições ao nosso f.
Passo 3
Verificando a não-negatividade: fora do intervalo [0,1] temos f(x)=0, então não há problema. No intervalo [0,1] temos f(x)=kx. Como x\ge 0 nesse intervalo, para garantir kx\ge 0 basta ter k\ge 0. Logo a condição de não-negatividade exige k\ge 0. Mais à frente veremos que o valor que normaliza a integral também satisfaz isso.
Passo 4
Agora aplicamos a condição de normalização. Como f(x)=0 fora de [0,1], a integral em toda a reta reduz-se à integral em [0,1]: