Seja X uma variável aleatória contínua com densidade:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc} 3 x^{2}, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
Define-se Y=\sqrt{X}.
Encontre a função densidade de probabilidade (fdp) de Y, usando o método da transformação de variáveis.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de [X) e define Y como raiz quadrada de X. As informações e o que é pedido são:
  • Dado: f_{X}(x)=\begin{cases} 3x^{2}, & \text{se } 0\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • Definição da transformação: \;Y=\sqrt{X}.\] - Pergunta: encontrar a função densidade de probabilidade de \(Y, ou seja, f_{Y}(y).
Informações relevantes extraídas do enunciado: o suporte de X é [0,1] e a transformação y=\sqrt{x} mapeia esse suporte em algum conjunto (que vamos identificar). Neste passo não resolvo, só organizei o que foi dado e o que precisa ser encontrado.]

Passo 2

Idéia do método (via funções de distribuição acumulada, passo a passo e bem didático):
  • Quero achar F_{Y}(y)=P(Y\le y). Como Y=\sqrt{X}, F_{Y}(y)=P\big(\sqrt{X}\le y\big).
  • Note que a função g(x)=\sqrt{x} é crescente em x\ge 0. Para y\ge 0 a desigualdade \sqrt{X}\le y é equivalente a X\le y^{2}. Logo, para y\ge 0, F_{Y}(y)=P(X\le y^{2})=F_{X}(y^{2}).
  • Para y<0 temos \sqrt{X}\ge 0 sempre, então F_{Y}(y)=0 quando y<0.
Explicação curta do passo: transformei o evento sobre Y num evento sobre X usando a monotonicidade de \sqrt{\cdot}. Isso permite expressar F_{Y} em termos de F_{X}.

Passo 3

Passo para obter a densidade: diferenciar F_{Y}. Como F_{Y}(y)=F_{X}(y^{2}) para y\ge 0, uso a regra da cadeia para derivar:
  • Diferenciando em y (quando existe a derivada), f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y)=\frac{d}{dy}\big(F_{X}(y^{2})\big)=F_{X}'(y^{2})\cdot\frac{d}{dy}(y^{2}).
  • Mas F_{X}'(x)=f_{X}(x). Então f_{Y}(y)=f_{X}(y^{2})\cdot 2y,
para os y onde isso faz sentido (aqui y\ge 0). Este é o resultado padrão da diferenciação da CDF (equivalente ao uso do jacobiano).
Observação didática: a derivada \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y é a aplicação da regra da cadeia; isso corresponde também ao fator jacobiano absoluto quando se usa a fórmula direta das transformações.

Passo 4

Determinar o suporte de Y (imagem da transformação):
  • Como X varia em [0,1] e y=\sqrt{x} é crescente, a imagem é y\in[0,1]. Para y<0 ou y>1 a densidade será zero.
  • Portanto, a fórmula f_{Y}(y)=f_{X}(y^{2})\cdot 2y vale efetivamente para 0\le y\le 1; fora disso f_{Y}(y)=0.

Passo 5

Substituir a expressão de f_{X} na fórmula obtida:
  • Temos f_{X}(x)=3x^{2}. Substituindo x=y^{2}, f_{X}(y^{2})=3\,(y^{2})^{2}=3y^{4}.
  • Multiplicando pelo fator 2y, f_{Y}(y)=3y^{4}\cdot 2y=6y^{5},
para 0\le y\le 1.

Passo 6

Verificação rápida (normalização) para ganhar confiança:
  • Calculo \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)\,dy=\int_{0}^{1}6y^{5}\,dy.
  • Integro: \displaystyle\int_{0}^{1}6y^{5}\,dy=6\cdot\frac{y^{6}}{6}\Big|_{0}^{1}=1. Então a função encontrada é uma densidade válida.

Passo 7

Comentário didático final sobre o método (resumo prático que serve para prova):
  • Regra prática: se Y=g(X) com g monótona e inversível, então f_{Y}(y)=f_{X}\big(g^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
  • No nosso caso g(x)=\sqrt{x} tem inversa g^{-1}(y)=y^{2} e \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)=2y, daí a aplicação direta.

Resposta

f_{Y}(y)=\begin{cases} 6y^{5}, & \text{se } 0\le y\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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