Definição da transformação: \;Y=\sqrt{X}.\]
- Pergunta: encontrar a função densidade de probabilidade de \(Y, ou seja, f_{Y}(y).
Informações relevantes extraídas do enunciado: o suporte de X é [0,1] e a transformação y=\sqrt{x} mapeia esse suporte em algum conjunto (que vamos identificar). Neste passo não resolvo, só organizei o que foi dado e o que precisa ser encontrado.]
Passo 2
Idéia do método (via funções de distribuição acumulada, passo a passo e bem didático):
Quero achar F_{Y}(y)=P(Y\le y). Como Y=\sqrt{X},F_{Y}(y)=P\big(\sqrt{X}\le y\big).
Note que a função g(x)=\sqrt{x} é crescente em x\ge 0. Para y\ge 0 a desigualdade \sqrt{X}\le y é equivalente a X\le y^{2}. Logo, para y\ge 0,F_{Y}(y)=P(X\le y^{2})=F_{X}(y^{2}).
Para y<0 temos \sqrt{X}\ge 0 sempre, então F_{Y}(y)=0 quando y<0.
Explicação curta do passo: transformei o evento sobre Y num evento sobre X usando a monotonicidade de \sqrt{\cdot}. Isso permite expressar F_{Y} em termos de F_{X}.
Passo 3
Passo para obter a densidade: diferenciar F_{Y}. Como F_{Y}(y)=F_{X}(y^{2}) para y\ge 0, uso a regra da cadeia para derivar:
Diferenciando em y (quando existe a derivada),f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y)=\frac{d}{dy}\big(F_{X}(y^{2})\big)=F_{X}'(y^{2})\cdot\frac{d}{dy}(y^{2}).
Mas F_{X}'(x)=f_{X}(x). Entãof_{Y}(y)=f_{X}(y^{2})\cdot 2y,
para os y onde isso faz sentido (aqui y\ge 0). Este é o resultado padrão da diferenciação da CDF (equivalente ao uso do jacobiano).
Observação didática: a derivada \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y é a aplicação da regra da cadeia; isso corresponde também ao fator jacobiano absoluto quando se usa a fórmula direta das transformações.
Passo 4
Determinar o suporte de Y (imagem da transformação):
Como X varia em [0,1] e y=\sqrt{x} é crescente, a imagem é y\in[0,1]. Para y<0 ou y>1 a densidade será zero.
Portanto, a fórmula f_{Y}(y)=f_{X}(y^{2})\cdot 2y vale efetivamente para 0\le y\le 1; fora disso f_{Y}(y)=0.
Passo 5
Substituir a expressão de f_{X} na fórmula obtida: