O tempo de espera, em minutos, do momento que se chega até o começo do atendimento, no serviço de um caixa bancário é descrito por uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo
. Deseja-se estimar esse parâmetro
. Para isso, foi usado o estimador
, onde
é a média de uma amostra de tempos de espera.
(a) Uma amostra com 9 tempos de espera foi coletada: 8, 11, 15, 19, 2, 11, 14, 16, 1.
Calcule
e calcule todos os componentes de um boxplot para esses dados:
Q1, Q2, Q3, DIQ, CI (cerca inferior), CS (cerca superior).
(b) O estimador
é viesado para estimar
? Calcule o viés;
(c) Calcule o
, erro quadrático médio do estimador
.
(a) Uma amostra com 9 tempos de espera foi coletada: 8, 11, 15, 19, 2, 11, 14, 16, 1.
Q1, Q2, Q3, DIQ, CI (cerca inferior), CS (cerca superior).
(b) O estimador
(c) Calcule o
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras: \n
- (a) Calcular o estimador
para a amostra e todos os componentes de um boxplot: , , , (distância interquartílica), (cerca inferior) e (cerca superior). Os dados fornecidos são os tempos de espera: . \n - (b) Verificar se
é viesado para estimar e calcular o viés. \n - (c) Calcular o
(erro quadrático médio) do estimador . \n
Informações relevantes dadas: amostra de tamanhocom os valores acima, e a distribuição da variável é Uniforme no intervalo . Não há figura a analisar.
Passo 2
Organizar os dados em ordem crescente (isso é necessário para achar os quartis): \n
Os dados ordenados são . \n
Calcular a média amostral : somamos todos os valores e dividimos por
. \n
A soma é . \n
Logo . \n
Aplicando o estimador dado, .
Os dados ordenados são
Calcular a média amostral
A soma é
Logo
Aplicando o estimador dado,
Passo 3
Calcular o
(mediana): \n
Como é ímpar, a mediana é o elemento central, ou seja o
valor na lista ordenada. \n
Assim (o quinto valor). \n
Como
Assim
Passo 4
Calcular
e
: \n
Para ímpar, ao calcular quartis normalmente se exclui a mediana e toma-se a mediana da metade inferior e da metade superior. \n
Para
- Metade inferior (valores abaixo da mediana):
. A mediana desses dois valores centrais é . Logo . \n - Metade superior (valores acima da mediana):
. A mediana desses é . Logo .
Passo 5
Calcular o
(IQR, distância interquartílica): \n
Passo 6
Calcular as cercas (fences) para identificar outliers: \n
As fórmulas padrão (boxplot) são e
. \n
As fórmulas padrão (boxplot) são
Calculemos:
Observação: a cerca inferior ficou negativa (
), mas os tempos não podem ser negativos; isso apenas indica que não há outliers inferiores (o mínimo da amostra é
, que é maior que
). Como
e o máximo da amostra é
, também não há outliers superiores.
Passo 7
Responder (b): decidir se
é viesado — ensinando conceitos usados. \n
Definição rápida: o viés de um estimador é
. Se é zero, o estimador é não-viesado. \n
Precisamos da esperança de . Primeiro, para uma variável
sabemos (vamos deduzir rapidamente): \n
Definição rápida: o viés de um estimador
Precisamos da esperança de
Portanto a esperança de uma observação é
. \n
A média amostral tem esperança (por linearidade da esperança). Logo
A média amostral tem esperança
Assim o viés é
. \n
Conclusão: é não-viesado (sem viés).
Conclusão:
Passo 8
Calcular o
(MSE) — ensinando a fórmula usada. \n
Fórmula útil: \n
Já vimos que o viés é zero, então . Vamos obter
. \n
Para temos (também deduzível por integrais):
Fórmula útil:
Já vimos que o viés é zero, então
Para
portanto
A variância da média amostral é
\n
Logo \n
Portanto
Logo
Portanto
Para
temos
Observação prática: como o
depende do verdadeiro
(desconhecido), essa é a expressão teórica. Se quisermos uma estimativa numérica do
a partir da amostra, poderíamos substituir
por
numa estimativa plug-in, obtendo uma estimativa de
igual a
. Usando
, essa estimativa seria
(opcional; resultado aproximado).
Resposta
(a)
\n
(b) (portanto
é não-viesado). \n
(c)
(b)
(c)