O tempo de espera, em minutos, do momento que se chega até o começo do atendimento, no serviço de um caixa bancário é descrito por uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo (0, \theta). Deseja-se estimar esse parâmetro \theta. Para isso, foi usado o estimador \hat{\theta}=2 \bar{X}, onde \bar{X} é a média de uma amostra de tempos de espera.
(a) Uma amostra com 9 tempos de espera foi coletada: 8, 11, 15, 19, 2, 11, 14, 16, 1.
Calcule \hat{\theta} e calcule todos os componentes de um boxplot para esses dados:
Q1, Q2, Q3, DIQ, CI (cerca inferior), CS (cerca superior).
(b) O estimador \hat{\theta} é viesado para estimar \theta ? Calcule o viés;
(c) Calcule o E M Q(\hat{\theta}), erro quadrático médio do estimador \hat{\theta}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras: \n
  • (a) Calcular o estimador \hat{\theta}=2\bar{X} para a amostra e todos os componentes de um boxplot: Q1, Q2, Q3, DIQ (distância interquartílica), CI (cerca inferior) e CS (cerca superior). Os dados fornecidos são os tempos de espera: 8,11,15,19,2,11,14,16,1. \n
  • (b) Verificar se \hat{\theta} é viesado para estimar \theta e calcular o viés. \n
  • (c) Calcular o EMQ(\hat{\theta}) (erro quadrático médio) do estimador \hat{\theta}. \n
    Informações relevantes dadas: amostra de tamanho n=9 com os valores acima, e a distribuição da variável é Uniforme no intervalo (0,\theta). Não há figura a analisar.

Passo 2

Organizar os dados em ordem crescente (isso é necessário para achar os quartis): \n
Os dados ordenados são \;1,\;2,\;8,\;11,\;11,\;14,\;15,\;16,\;19. \n
Calcular a média amostral \bar{X}: somamos todos os valores e dividimos por n. \n
A soma é \;1+2+8+11+11+14+15+16+19=97. \n
Logo \displaystyle \bar{X}=\frac{97}{9}\approx 10{,}7777. \n
Aplicando o estimador dado, \displaystyle \hat{\theta}=2\bar{X}=2\cdot\frac{97}{9}=\frac{194}{9}\approx 21{,}5556.

Passo 3

Calcular o Q2 (mediana): \n
Como n=9 é ímpar, a mediana é o elemento central, ou seja o 5^\text{o} valor na lista ordenada. \n
Assim Q2 = 11 (o quinto valor). \n

Passo 4

Calcular Q1 e Q3: \n
Para n ímpar, ao calcular quartis normalmente se exclui a mediana e toma-se a mediana da metade inferior e da metade superior. \n
  • Metade inferior (valores abaixo da mediana): 1,2,8,11. A mediana desses dois valores centrais é \frac{2+8}{2}=5. Logo Q1=5. \n
  • Metade superior (valores acima da mediana): 14,15,16,19. A mediana desses é \frac{15+16}{2}=15{,}5. Logo Q3=15{,}5.

Passo 5

Calcular o DIQ (IQR, distância interquartílica): \n
DIQ = Q3 - Q1 = 15{,}5 - 5 = 10{,}5.

Passo 6

Calcular as cercas (fences) para identificar outliers: \n
As fórmulas padrão (boxplot) são \;CI = Q1 - 1{,}5\cdot DIQ e \;CS = Q3 + 1{,}5\cdot DIQ. \n
Calculemos: CI = 5 - 1{,}5\cdot 10{,}5 = 5 - 15{,}75 = -10{,}75.
CS = 15{,}5 + 1{,}5\cdot 10{,}5 = 15{,}5 + 15{,}75 = 31{,}25.
Observação: a cerca inferior ficou negativa ( -10{,}75), mas os tempos não podem ser negativos; isso apenas indica que não há outliers inferiores (o mínimo da amostra é 1, que é maior que CI). Como CS=31{,}25 e o máximo da amostra é 19, também não há outliers superiores.

Passo 7

Responder (b): decidir se \hat{\theta} é viesado — ensinando conceitos usados. \n
Definição rápida: o viés de um estimador \widehat{\Theta} é \;Bias(\widehat{\Theta})=E[\widehat{\Theta}]-\theta. Se é zero, o estimador é não-viesado. \n
Precisamos da esperança de \hat{\theta}=2\bar{X}. Primeiro, para uma variável X\sim \text{Uniforme}(0,\theta) sabemos (vamos deduzir rapidamente): \n
E[X]=\int_{0}^{\theta} x\cdot\frac{1}{\theta}\,dx=\frac{1}{\theta}\cdot\frac{\theta^{2}}{2}=\frac{\theta}{2}.
Portanto a esperança de uma observação é \theta/2. \n
A média amostral tem esperança E[\bar{X}]=E[X]=\frac{\theta}{2} (por linearidade da esperança). Logo
E[\hat{\theta}]=E[2\bar{X}]=2E[\bar{X}]=2\cdot\frac{\theta}{2}=\theta.
Assim o viés é \;Bias(\hat{\theta})=E[\hat{\theta}]-\theta=0. \n
Conclusão: \hat{\theta} é não-viesado (sem viés).

Passo 8

Calcular o EMQ(\hat{\theta}) (MSE) — ensinando a fórmula usada. \n
Fórmula útil: \displaystyle MSE(\widehat{\Theta})=E\big[(\widehat{\Theta}-\theta)^{2}\big]=Var(\widehat{\Theta}) + [Bias(\widehat{\Theta})]^{2}. \n
Já vimos que o viés é zero, então MSE(\hat{\theta})=Var(\hat{\theta}). Vamos obter Var(\hat{\theta}). \n
Para X\sim \text{Uniforme}(0,\theta) temos (também deduzível por integrais):
E[X^{2}] = \frac{1}{\theta}\int_{0}^{\theta} x^{2}\,dx = \frac{\theta^{2}}{3},
portanto
Var(X)=E[X^{2}] - (E[X])^{2} = \frac{\theta^{2}}{3} - \left(\frac{\theta}{2}\right)^{2} = \frac{\theta^{2}}{12}.
A variância da média amostral é \displaystyle Var(\bar{X})=\frac{Var(X)}{n}=\frac{\theta^{2}}{12n}. \n
Logo \displaystyle Var(\hat{\theta})=Var(2\bar{X})=4\,Var(\bar{X})=4\cdot\frac{\theta^{2}}{12n}=\frac{\theta^{2}}{3n}. \n
Portanto
MSE(\hat{\theta})=\frac{\theta^{2}}{3n}.
Para n=9 temos
MSE(\hat{\theta})=\frac{\theta^{2}}{27}.
Observação prática: como o MSE depende do verdadeiro \theta (desconhecido), essa é a expressão teórica. Se quisermos uma estimativa numérica do MSE a partir da amostra, poderíamos substituir \theta por \hat{\theta} numa estimativa plug-in, obtendo uma estimativa de MSE igual a \hat{\theta}^{2}/27. Usando \hat{\theta}=\frac{194}{9}, essa estimativa seria \left(\frac{194}{9}\right)^{2}\big/27\approx 1{,}616 (opcional; resultado aproximado).

Resposta

(a) \hat{\theta}=\dfrac{194}{9}\approx 21{,}5556;\;Q1=5;\;Q2=11;\;Q3=15{,}5;\;DIQ=10{,}5;\;CI=-10{,}75;\;CS=31{,}25. \n
(b) Bias(\hat{\theta})=0 (portanto \hat{\theta} é não-viesado). \n
(c) \displaystyle EMQ(\hat{\theta})= \frac{\theta^{2}}{3n} \quad\text{ou, para }n=9,\; \displaystyle EMQ(\hat{\theta})=\frac{\theta^{2}}{27}.

Exercícios relacionados