1. Dada a função r=1+2 cos theta faça
    (a) descubra as simetrias da função
    (b) calcule os valores para os quais r passa pela origem
    (c) calcule os pontos de máximo e mínimo
    (d) esboce a função, calculando r para alguns valores de theta

Passo 1

O enunciado pede para estudar a curva polar
r = 1 + 2costheta
fazendo: (a) simetrias, (b) valores em que passa pela origem, (c) extremos de r, (d) esboço calculando alguns pontos. O conteúdo é curvas em coordenadas polares.

Passo 2

Para achar simetrias, verificamos transformações em theta:
r(-theta)=1+2cos(-theta)=1+2costheta=r(theta), logo há simetria em relação ao eixo polar ( theta=0).
– Também r(theta+2pi)=r(theta), é periódica de período 2pi.

Passo 3

Para encontrar onde a curva passa pela origem fazemos r=0:
1 + 2costheta = 0 Longrightarrow costheta = -tfrac12
Dessa equação vêm
theta = tfrac2pi3 e theta = tfrac4pi3

Passo 4

Os extremos de r vêm de
drdtheta = -2sintheta = 0 Longrightarrow sintheta = 0 ;Rightarrow; theta = 0,;pi
Em theta=0:
r(0)=1+2cdot1=3 (máximo) á
Em theta=pi:
r(pi)=1+2cdot(-1)=-1 (mínimo; dá laço interno) íáç

Passo 5

Para esboçar, montamos tabela de pontos principais e depois usamos a simetria no eixo polar:
c|c theta & r=1+2costhetahline 0 & 3 tfracpi6 & 1 + 2cdottfracraiz32 = 1 + raiz3approx2,732 tfracpi3 & 1 + 2cdottfrac12 = 2 tfracpi2 & 1 + 2cdot0 = 1 tfrac2pi3 & 1 + 2cdot(-tfrac12) = 0 tfrac3pi4 & 1 + 2cdotl(-tfracraiz22r) = 1 - raiz2approx-0,414 pi & -1
Pontos com r<0 são plotados invertendo o ângulo em theta+pi. Unindo esses pontos e completando pela simetria no eixo polar, obtemos o típico limacon com laço interno.

Resposta

(a) simetria em relação ao eixo polar ( theta=0) e periodicidade 2pi.
(b) theta=tfrac2pi3,;tfrac4pi3.
(c) máximo r=3 em theta=0; mínimo r=-1 em theta=pi.
(d) tabela de valores acima e esboço conforme descrito (limacon com laço interno).

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