Determine os valores de:
2^1+i

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de ,2^1+i.
O conteúdo necessário é a definição de potência complexa via exponencial e logaritmo complexos, bem como a fórmula de Euler
e^itheta=costheta + isintheta

Passo 2

Usamos a definição
onde é o logaritmo complexo de . Como é real positivo,

Passo 3

Calculemos o produto (1+i)(ln 2 + 2pi i k):
(1+i)(ln 2 + 2pi i k) = ln 2 + iln 2 +2pi i k +2pi i^2 k = (ln 2 -2pi k) + i(ln 2 +2pi k)

Passo 4

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2^1+i = e^(ln 2 -2pi k) + i(ln 2 +2pi k) = e^ln 2 -2pi k;e^,i(ln 2 +2pi k) = 2,e^-2pi kl[cos(ln 2+2pi k)+isin(ln 2+2pi k)r]
Em particular, para o valor principal ( k=0 ) fica
2^1+i = 2l[cos(ln 2)+isin(ln 2)r]

Resposta

boxed2^1+i=2,e^-2pi kl[cos(ln 2+2pi k)+isin(ln 2+2pi k)r], kinZ,
com valor principal
boxed2^1+i=2l[cos(ln 2)+isin(ln 2)r]

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