Dada uma função F: I R \rightarrow I R, sabe-se que:
i) F^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(3 x) \cos (5 x), onde F^{\prime}(x) é a derivada da função F, em relação à variável independente x;
ii) F(0)=0.
O valor de F\left(\frac{\pi}{16}\right) é
(e) \quad \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{3}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • F'(x)=\operatorname{sen}(3x)\cos(5x) para todo x.
  • F(0)=0.
    A pergunta é: calcular o valor de F\!\left(\dfrac{\pi}{16}\right).

Passo 2

Ideia principal (teorema fundamental do cálculo, explicação didática): se F' é a derivada de F e F(0) é conhecido, então, para qualquer x,
F(x)=F(0)+\int_{0}^{x}F'(t)\,dt.
Isto vem do fato de que a integral da derivada recupera a função (até uma constante). Como F(0)=0, temos
F(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(3t)\cos(5t)\,dt.
Portanto precisamos calcular essa integral e avaliá‑la em x=\dfrac{\pi}{16}.

Passo 3

Escrevendo o valor pedido como integral:
F\!\left(\dfrac{\pi}{16}\right)=\int_{0}^{\pi/16}\operatorname{sen}(3t)\cos(5t)\,dt.

Passo 4

Vamos simplificar o integrando usando uma identidade trigonométrica (produto para soma), que é muito útil na prova e em cálculos sem calculadora:
a identidade é
\operatorname{sen} A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\bigr).
Aplicando com A=3t e B=5t:
\operatorname{sen}(3t)\cos(5t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(8t)+\operatorname{sen}(-2t)\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(8t)-\operatorname{sen}(2t)\bigr).

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Primeiramente lembrando a fórmula básica:
\int \operatorname{sen}(k t)\,dt=-\frac{1}{k}\cos(k t)+C,
porque a derivada de \cos(k t) é -k\operatorname{sen}(k t).
Assim
\int \operatorname{sen}(8t)\,dt=-\frac{1}{8}\cos(8t)+C,\qquad \int \operatorname{sen}(2t)\,dt=-\frac{1}{2}\cos(2t)+C.
Com o fator \tfrac{1}{2} do produto-para-soma, a primitiva de \operatorname{sen}(3t)\cos(5t) é
\int \operatorname{sen}(3t)\cos(5t)\,dt =\tfrac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{8}\cos(8t)+\frac{1}{2}\cos(2t)\Bigr)+C =-\frac{1}{16}\cos(8t)+\frac{1}{4}\cos(2t)+C.

Passo 6

Usamos F(0)=0 para encontrar a constante C. Avaliando a primitiva em t=0:
F(0)=-\frac{1}{16}\cos(0)+\frac{1}{4}\cos(0)+C=-\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+C=\frac{3}{16}+C.
Como F(0)=0, segue C=-\dfrac{3}{16}. Assim a função F (até a constante, mas agora completa) é
F(x)=-\frac{1}{16}\cos(8x)+\frac{1}{4}\cos(2x)-\frac{3}{16}.

Passo 7

Avaliaremos agora em x=\dfrac{\pi}{16}. Primeiro calculos trigonométricos úteis:
\cos\bigl(8\cdot \tfrac{\pi}{16}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
e
\cos\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{16}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr).
Lembrando a fórmula de meia‑soma para cosseno (ou tabela de ângulos notáveis),
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\pi/4)}{2}} =\sqrt{\dfrac{1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Substituindo em F:
F\!\left(\tfrac{\pi}{16}\right)=-\frac{1}{16}\cdot 0+\frac{1}{4}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)-\frac{3}{16} =\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{3}{16}.

Passo 8

Simplificando o coeficiente:
\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{8}\sqrt{2+\sqrt{2}}.
Portanto o resultado final é
F\!\left(\tfrac{\pi}{16}\right)=\frac{1}{8}\sqrt{2+\sqrt{2}}-\frac{3}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}\sqrt{2+\sqrt{2}}-\frac{3}{16}

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