Dada uma função
, sabe-se que:
i)
, onde
é a derivada da função
, em relação à variável independente
;
ii)
.
O valor de
é
(e)
.
i)
ii)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
para todo . -
.
A pergunta é: calcular o valor de.
Passo 2
Ideia principal (teorema fundamental do cálculo, explicação didática): se
é a derivada de
e
é conhecido, então, para qualquer
,
Isto vem do fato de que a integral da derivada recupera a função (até uma constante). Como
, temos
Portanto precisamos calcular essa integral e avaliá‑la em
.
Passo 3
Escrevendo o valor pedido como integral:
Passo 4
Vamos simplificar o integrando usando uma identidade trigonométrica (produto para soma), que é muito útil na prova e em cálculos sem calculadora:
a identidade é
a identidade é
Aplicando com
e
:
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Primeiramente lembrando a fórmula básica:
porque a derivada de
é
.
Assim
Assim
Com o fator
do produto-para-soma, a primitiva de
é
Passo 6
Usamos
para encontrar a constante
. Avaliando a primitiva em
:
Como
, segue
. Assim a função
(até a constante, mas agora completa) é
Passo 7
Avaliaremos agora em
. Primeiro calculos trigonométricos úteis:
e
Lembrando a fórmula de meia‑soma para cosseno (ou tabela de ângulos notáveis),
Substituindo em
:
Passo 8
Simplificando o coeficiente:
Portanto o resultado final é